Determine se a série converge ou diverge (teste da razão, teste da raiz).
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para a gente determinar se a série
converge ou diverge, usando o teste da razão ou o teste da raiz. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries infinitas e esses dois testes de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série para facilitar a aplicação dos testes. O numerador
pode ser escrito como
, porque estamos multiplicando 2 por 4 por 6 até
, o que é igual a
vezes o fatorial de
.
Então, o termo geral fica:
Passo 3
Agora que simplificamos, a série original se transforma em:
Essa é uma série geométrica onde a razão
.
Passo 4
Vamos lembrar que uma série geométrica
converge se
e diverge se
.
No nosso caso,
, que é maior que 1.
Passo 5
Como
, de acordo com o teste da série geométrica, a série diverge.
Resposta
A série
diverge.