Determine se a série converge ou diverge (teste da razão, teste da raiz).
sum 2 cdot 4 cdot 6 cdots(2 n)n!

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para a gente determinar se a série
sum 2 cdot 4 cdot 6 cdots(2 n)n!
converge ou diverge, usando o teste da razão ou o teste da raiz. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries infinitas e esses dois testes de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série para facilitar a aplicação dos testes. O numerador an = 2^n cdot n!n! = 2^n pode ser escrito como , porque estamos multiplicando 2 por 4 por 6 até , o que é igual a vezes o fatorial de .
Então, o termo geral fica:

Passo 3

Agora que simplificamos, a série original se transforma em:
sum 2^n
Essa é uma série geométrica onde a razão .

Passo 4

Vamos lembrar que uma série geométrica converge se e diverge se .
No nosso caso, , que é maior que 1.

Passo 5

Como , de acordo com o teste da série geométrica, a série diverge.

Resposta

A série diverge.

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