Determine se a série converge ou diverge (teste da razão, teste da raiz).

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para a gente determinar se a série
converge ou diverge, usando o teste da razão ou o teste da raiz. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries infinitas e esses dois testes de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série para facilitar a aplicação dos testes. O numerador pode ser escrito como , porque estamos multiplicando 2 por 4 por 6 até , o que é igual a vezes o fatorial de .
Então, o termo geral fica:

Passo 3

Agora que simplificamos, a série original se transforma em:
Essa é uma série geométrica onde a razão .

Passo 4

Vamos lembrar que uma série geométrica converge se e diverge se .
No nosso caso, , que é maior que 1.

Passo 5

Como , de acordo com o teste da série geométrica, a série diverge.

Resposta

A série diverge.

Exercícios relacionados

Verifique se cada problema abaixo, são problemas de Cauchy(SEM RESOLVER), estude a existência e unicidade de soluções. Em caso de ser problema de Cauchy, determine UM subconjunto aberto de onde possa garantir que isso aconteça.
Determine se a série converge ou diverge (teste da razão, teste da raiz).
Usando a definição de diferencial e o TFC para integrais não definidas cálcule a solução geral das seguintes equações diferenciais lineares de primeira ordem:
Determine se a série converge ou diverge (teste da razão, teste da raiz).