Determine se a série converge ou diverge (teste da razão, teste da raiz).
sum(n^2+12 n^2+1)^n

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir se a série
sum(n^2+12 n^2+1)^n
converge ou diverge. Para isso, vamos usar dois métodos: o Teste da Razão e o Teste da Raiz. Primeiro, vamos entender um pouquinho sobre séries e esses testes.

Passo 2

Entendendo a Série:
A série que temos é uma soma infinita de termos que têm a forma . Nosso objetivo é saber se essa soma chega a um número finito (converge) ou se ela cresce sem limite (diverge).

Passo 3

Teste da Raiz:
Vamos começar pelo Teste da Raiz. Esse teste é útil para séries onde o termo geral tem uma potência com L = limn to infty raiz[n]an . A regra é a seguinte:
Calcular o limite:
onde é o termo geral da série.
  • Se , a série converge.
  • Se , a série diverge.
  • Se , o teste é inconclusivo.

Passo 4

Aplicando o Teste da Raiz:
Primeiro, identificamos raiz[n]an = raiz[n](n^2+12 n^2+1)^n = n^2+12 n^2+1 .
Vamos calcular:
L = limn to infty n^2+12 n^2+1
Agora, calculamos o limite quando vai para o infinito:

Passo 5

Calculando o Limite:
Para calcular esse limite, dividimos numerador e denominador por L = limn to infty 1 + 1n^22 + 1n^2 = 1 + 02 + 0 = 12 :
Então, .

Passo 6

Interpretando o Resultado do Teste da Raiz:
Como , de acordo com o Teste da Raiz, a série converge.

Resposta

A série
sum(n^2+12 n^2+1)^n
converge pelo Teste da Raiz.

Exercícios relacionados