Determine se a série converge ou diverge (teste da razão, teste da raiz).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir se a série
converge ou diverge. Para isso, vamos usar dois métodos: o Teste da Razão e o Teste da Raiz. Primeiro, vamos entender um pouquinho sobre séries e esses testes.
Passo 2
Entendendo a Série:
A série que temos é uma soma infinita de termos que têm a forma
. Nosso objetivo é saber se essa soma chega a um número finito (converge) ou se ela cresce sem limite (diverge).
Passo 3
Teste da Raiz:
Vamos começar pelo Teste da Raiz. Esse teste é útil para séries onde o termo geral tem uma potência com
. A regra é a seguinte:
Calcular o limite:
onde
é o termo geral da série.
- Se
, a série converge. - Se
, a série diverge. - Se
, o teste é inconclusivo.
Passo 4
Aplicando o Teste da Raiz:
Primeiro, identificamos
.
Vamos calcular:
Agora, calculamos o limite quando
vai para o infinito:
Passo 5
Calculando o Limite:
Para calcular esse limite, dividimos numerador e denominador por
:
Então,
.
Passo 6
Interpretando o Resultado do Teste da Raiz:
Como
, de acordo com o Teste da Raiz, a série converge.
Resposta
A série
converge pelo Teste da Raiz.
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. Além disso, para algum número real
, determine uma solução em séries de potências da forma
.
,
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