Verifique se cada problema abaixo, são problemas de Cauchy(SEM RESOLVER), estude a existência e unicidade de soluções. Em caso de ser problema de Cauchy, determine UM subconjunto aberto de onde possa garantir que isso aconteça.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um problema que envolve uma equação diferencial ordinária (EDO) do tipo Cauchy. Nosso objetivo é verificar se essa equação junto com a condição inicial dada formam um problema de Cauchy. Se for o caso, vamos também identificar um conjunto aberto em onde a existência e unicidade da solução estão garantidas. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre as condições que definem um problema de Cauchy e aplicar isso à equação que temos.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um problema de Cauchy. Basicamente, é uma EDO da forma:
com uma condição inicial específica:
Para que um problema de Cauchy tenha uma solução única, a função e sua derivada parcial em relação a , , precisam ser contínuas em uma região aberta que contenha o ponto .
Passo 3
Agora, vamos analisar a nossa equação:
com a condição inicial:
Aqui, temos . Para verificar se este é um problema de Cauchy, precisamos checar se e são contínuas perto do ponto .
Passo 4
Vamos começar verificando a continuidade de . A função seno é contínua para todo número real, então a continuidade de depende da continuidade de . A função é contínua exceto quando . Como nossa condição inicial é , podemos escolher um conjunto aberto que não inclua .
Passo 5
Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a :
A função é contínua onde , e também é contínua para . Portanto, é contínua onde .
Passo 6
Como tanto quanto são contínuas em qualquer região onde , podemos concluir que, ao redor do ponto , existe um conjunto aberto onde essas condições são satisfeitas. Por exemplo, podemos escolher um intervalo aberto para ao redor de 0 e um intervalo aberto para ao redor de que não inclua .
Resposta
Sim, o problema dado é um problema de Cauchy. Um subconjunto aberto de onde a existência e unicidade da solução estão garantidas é um intervalo aberto em torno de e um intervalo aberto em torno de , excluindo , por exemplo:
onde e são números positivos pequenos escolhidos de forma que seja aberto.