Determine se a série converge ou diverge (teste da razão, teste da raiz).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir se a série
converge ou diverge. Para isso, vamos usar o Teste da Razão ou o Teste da Raiz, que são ferramentas da matemática para analisar séries infinitas. Vamos precisar entender um pouquinho sobre limites e como calcular a razão entre termos consecutivos da série.
Passo 2
Vamos começar aplicando o Teste da Razão. Primeiro, vamos chamar o termo geral da série de
. Então, temos:
Agora, precisamos calcular a razão entre o termo seguinte e o termo atual, ou seja,
.
Passo 3
Vamos calcular
:
Então, a razão fica:
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite dessa razão quando
tende ao infinito:
Sabemos que
cresce muito rápido (exponencialmente) comparado a
, que cresce de forma linear. Portanto, esse limite tende ao infinito:
Como
, pelo Teste da Razão, a série diverge.
Resposta
A série
diverge.
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