Determine se a série converge ou diverge (teste da razão, teste da raiz).
sum 2^n^2n!

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir se a série converge ou diverge. Para isso, vamos usar o Teste da Razão ou o Teste da Raiz, que são ferramentas da matemática para analisar séries infinitas. Vamos precisar entender um pouquinho sobre limites e como calcular a razão entre termos consecutivos da série.

Passo 2

Vamos começar aplicando o Teste da Razão. Primeiro, vamos chamar o termo geral da série de an = 2^n^2n! . Então, temos:
Agora, precisamos calcular a razão entre o termo seguinte e o termo atual, ou seja, .

Passo 3

Vamos calcular an+1 = 2^(n+1)^2(n+1)! = 2^n^2 + 2n + 1(n+1) cdot n! = 2^n^2 cdot 2^2n + 1(n+1) cdot n! = an cdot 2^2n + 1n+1 :
an+1an = 2^2n + 1n+1
Então, a razão fica:

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite dessa razão quando L = limn to infty 2^2n + 1n+1 tende ao infinito:
L = infty
Sabemos que cresce muito rápido (exponencialmente) comparado a , que cresce de forma linear. Portanto, esse limite tende ao infinito:
Como , pelo Teste da Razão, a série diverge.

Resposta

A série diverge.

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