Determine se a série converge ou diverge (teste da razão, teste da raiz).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar se a série
converge ou diverge. Para isso, vamos usar dois métodos: o Teste da Razão e o Teste da Raiz. Esses testes ajudam a analisar o comportamento das séries infinitas e decidir se somam para um valor finito ou não. Bora lá!
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste é útil quando a série tem termos com fatorial ou potências, como é o caso aqui. A ideia é calcular o limite da razão entre termos consecutivos da série:
Se , a série converge; se ou é infinito, a série diverge; e se , o teste não é conclusivo.
Passo 3
Vamos identificar an = n(ln n)^n na nossa série:
an+1 = n+1(ln (n+1))^n+1
Agora, vamos calcular :
Passo 4
Agora, vamos formar a razão an+1an = n+1(ln (n+1))^n+1 times (ln n)^nn = (1 + 1n) times (ln nln (n+1))^n times 1ln (n+1) :
Passo 5
Vamos simplificar os termos:
tende a 1 quando vai para o infinito.
Para o termo , percebemos que é aproximadamente para valores grandes de , mas precisamos analisar mais de perto.
O termo tende a 0 conforme aumenta.
Passo 6
Vamos focar no termo ln nln(n+1) approx ln nln n + 1n = 11 + 1n ln n approx 1 - 1n ln n . Usando a aproximação (1 - 1n ln n)^n approx e^- 1ln n , podemos reescrever:
Então,
Porque .
Passo 7
Substituindo de volta, temos:
an+1an approx (1) times e^- 1ln n times 1ln n
À medida que L = limn to infty 1ln n = 0 cresce, diminui para 0, e tende a 1. Portanto, o limite fica:
Passo 8
Como sum n(ln n)^n , de acordo com o Teste da Razão, a série
converge.
Resposta
A série
sum n(ln n)^n
converge pelo Teste da Razão, já que o limite da razão entre termos consecutivos é menor que 1.