Determine se a série converge ou diverge (teste da razão, teste da raiz).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar se a série
converge ou diverge. Para isso, vamos usar dois métodos: o Teste da Razão e o Teste da Raiz. Esses testes ajudam a analisar o comportamento das séries infinitas e decidir se somam para um valor finito ou não. Bora lá!

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste é útil quando a série tem termos com fatorial ou potências, como é o caso aqui. A ideia é calcular o limite da razão entre termos consecutivos da série:
Se , a série converge; se ou é infinito, a série diverge; e se , o teste não é conclusivo.

Passo 3

Vamos identificar na nossa série:
Agora, vamos calcular :

Passo 4

Agora, vamos formar a razão :

Passo 5

Vamos simplificar os termos:
  1. tende a 1 quando vai para o infinito.
  2. Para o termo , percebemos que é aproximadamente para valores grandes de , mas precisamos analisar mais de perto.
  3. O termo tende a 0 conforme aumenta.

Passo 6

Vamos focar no termo . Usando a aproximação , podemos reescrever:
Então,
Porque .

Passo 7

Substituindo de volta, temos:
À medida que cresce, diminui para 0, e tende a 1. Portanto, o limite fica:

Passo 8

Como , de acordo com o Teste da Razão, a série
converge.

Resposta

A série
converge pelo Teste da Razão, já que o limite da razão entre termos consecutivos é menor que 1.

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Mostre que cada uma das seguintes equações diferencias admite um ponto singular regular em . Além disso, para algum número real , determine uma solução em séries de potências da forma .
,
Usando a definição de diferencial e o TFC para integrais não definidas cálcule a solução geral das seguintes equações diferenciais lineares de primeira ordem:
Determine se a série converge ou diverge (teste da razão, teste da raiz).
Determine se a série converge ou diverge (teste da razão, teste da raiz).