Mostre que cada uma das seguintes equações diferencias admite um ponto singular regular em x0=0. Além disso, para algum número real r, determine uma solução em séries de potências da forma y(x)=x^r sumn=0^infty x^n=sumn=0^infty x^r+n.
x^2 y^prime prime+(x^2+14) y=0,

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a equação diferencial tem um ponto singular regular em . Além disso, precisamos encontrar uma solução em série de potência da forma para algum número real . Basicamente, vamos usar métodos de equações diferenciais ordinárias (EDOs) para identificar o tipo de ponto singular e construir a solução em série.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um ponto singular regular. Numa equação diferencial de segunda ordem da forma x^2 y'' + (x^2 + 14) y = 0 , o ponto y'' + (1 + 14x^2) y = 0 é chamado de ponto singular se . Se, além disso, e são analíticos em , então o ponto singular é regular.
No nosso caso, a equação é:
Podemos reescrever como:
Aqui, , e .

Passo 3

Vamos verificar se Q(x)P(x) = 0x^2 = 0 é um ponto singular regular.
Calculamos:
R(x)P(x) = x^2 + 14x^2 = 1 + 14x^2
Para , observamos que tem um termo , que diverge quando . Isso indica que é um ponto singular. Porém, para ser um ponto singular regular, devemos ter que e não crescem mais rápido que e respectivamente.
No nosso caso, cresce como , o que está dentro dos critérios para um ponto singular regular.

Passo 4

Agora que identificamos y(x) = x^r sumn=0^infty an x^n como um ponto singular regular, vamos encontrar a solução em série de potências na forma .
Primeiro, assumimos uma solução da forma:
Onde são coeficientes a serem determinados e é um número real a ser encontrado.

Passo 5

Calculamos as derivadas de y'(x) = sumn=0^infty (r + n) an x^r + n - 1 :
y''(x) = sumn=0^infty (r + n)(r + n - 1) an x^r + n - 2
x^2 y'' + (x^2 + 14) y = 0
Substituímos x^2 sumn=0^infty (r + n)(r + n - 1) an x^r + n - 2 + (x^2 + 14) sumn=0^infty an x^r + n = 0 e sumn=0^infty (r + n)(r + n - 1) an x^r + n + sumn=0^infty an x^r + n + 2 + 14 sumn=0^infty an x^r + n = 0 na equação diferencial:
Simplificando os termos:

Passo 6

Agora, alinhamos os índices para combinar os termos com potências iguais de sumn=0^infty (r + n)(r + n - 1) an x^r + n + sumn=2^infty an-2 x^r + n + 14 sumn=0^infty an x^r + n = 0 . Vamos ajustar a segunda soma substituindo sumn=0^infty [ (r + n)(r + n - 1) an + 14 an ] x^r + n + sumn=2^infty an-2 x^r + n = 0 por :
Juntando tudo:

Passo 7

Para que essa igualdade seja verdadeira para todo (r + 0)(r + 0 - 1) a0 + 14 a0 = 0 , os coeficientes de cada potência de r(r - 1) a0 + 14 a0 = 0 devem ser zero. Assim, obtemos a seguinte relação de recorrência:
Para [r(r - 1) + 14] a0 = 0 :
r^2 - r + 14 = 0
r = 1 pm raiz1 - 12 = 12
(r + n)(r + n - 1) an + 14 an + an-2 = 0
Isso nos dá a equação característica:
[(r + n)(r + n - 1) + 14] an + an-2 = 0
Resolvendo:
Então, .
Para :

Passo 8

Substituindo (12 + n)(12 + n - 1) an + 14 an + an-2 = 0 na relação de recorrência:
(12 + n)(n - 12) an + 14 an + an-2 = 0
(n^2 - 14) an + 14 an + an-2 = 0
Simplificando:
n^2 an + an-2 = 0
an = -an-2n^2
Então, a relação de recorrência fica:

Passo 9

Agora, vamos encontrar os coeficientes a1 = -a-11^2 usando a relação de recorrência a2 = -a02^2 = -C4 .
Começamos com a3 = -a13^2 = 0 . Vamos assumir a4 = -a24^2 = -(-C4) 116 = C64 , onde é uma constante arbitrária.
Para :
Como não está definido, consideramos .
Para :
Para :
Para :
E assim por diante.

Passo 10

Observamos que os coeficientes y(x) = x^1/2 [ a0 + a2 x^2 + a4 x^4 + cdots ] para y(x) = x^1/2 [ C - C4 x^2 + C64 x^4 - cdots ] ímpar são zero. Portanto, a solução em série será composta apenas por termos de potência pares.
Escrevendo a solução:

Resposta

Portanto, a equação diferencial y(x) = C x^1/2 ( 1 - 14 x^2 + 164 x^4 - cdots ) tem um ponto singular regular em . Uma solução em série de potências para essa equação é:
Onde é uma constante arbitrária.

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