Mostre que cada uma das seguintes equações diferencias admite um ponto singular regular em
. Além disso, para algum número real
, determine uma solução em séries de potências da forma
.
,
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a equação diferencial
tem um ponto singular regular em
. Além disso, precisamos encontrar uma solução em série de potência da forma
para algum número real
. Basicamente, vamos usar métodos de equações diferenciais ordinárias (EDOs) para identificar o tipo de ponto singular e construir a solução em série.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um ponto singular regular. Numa equação diferencial de segunda ordem da forma
, o ponto
é chamado de ponto singular se
. Se, além disso,
e
são analíticos em
, então o ponto singular é regular.
No nosso caso, a equação é:
Podemos reescrever como:
Aqui,
,
e
.
Passo 3
Vamos verificar se
é um ponto singular regular.
Calculamos:
Para
, observamos que
tem um termo
, que diverge quando
. Isso indica que
é um ponto singular. Porém, para ser um ponto singular regular, devemos ter que
e
não crescem mais rápido que
e
respectivamente.
No nosso caso,
cresce como
, o que está dentro dos critérios para um ponto singular regular.
Passo 4
Agora que identificamos
como um ponto singular regular, vamos encontrar a solução em série de potências na forma
.
Primeiro, assumimos uma solução da forma:
Onde
são coeficientes a serem determinados e
é um número real a ser encontrado.
Passo 5
Calculamos as derivadas de
:
Substituímos
e
na equação diferencial:
Simplificando os termos:
Passo 6
Agora, alinhamos os índices para combinar os termos com potências iguais de
. Vamos ajustar a segunda soma substituindo
por
:
Juntando tudo:
Passo 7
Para que essa igualdade seja verdadeira para todo
, os coeficientes de cada potência de
devem ser zero. Assim, obtemos a seguinte relação de recorrência:
Para
:
Isso nos dá a equação característica:
Resolvendo:
Então,
.
Para
:
Passo 8
Substituindo
na relação de recorrência:
Simplificando:
Então, a relação de recorrência fica:
Passo 9
Agora, vamos encontrar os coeficientes
usando a relação de recorrência
.
Começamos com
. Vamos assumir
, onde
é uma constante arbitrária.
Para
:
Como
não está definido, consideramos
.
Para
:
Para
:
Para
:
E assim por diante.
Passo 10
Observamos que os coeficientes
para
ímpar são zero. Portanto, a solução em série será composta apenas por termos de potência pares.
Escrevendo a solução:
Resposta
Portanto, a equação diferencial
tem um ponto singular regular em
. Uma solução em série de potências para essa equação é:
Onde
é uma constante arbitrária.
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Mostre que cada uma das seguintes equações diferencias admite um ponto singular regular em
. Além disso, para algum número real
, determine uma solução em séries de potências da forma
.
,
Determine se a série converge ou diverge (teste da razão, teste da raiz).
Determine se a série converge ou diverge (teste da razão, teste da raiz).