Mostre que cada uma das seguintes equações diferencias admite um ponto singular regular em . Além disso, para algum número real , determine uma solução em séries de potências da forma .
,

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a equação diferencial tem um ponto singular regular em . Além disso, precisamos encontrar uma solução em série de potência da forma para algum número real . Basicamente, vamos usar métodos de equações diferenciais ordinárias (EDOs) para identificar o tipo de ponto singular e construir a solução em série.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um ponto singular regular. Numa equação diferencial de segunda ordem da forma , o ponto é chamado de ponto singular se . Se, além disso, e são analíticos em , então o ponto singular é regular.
No nosso caso, a equação é:
Podemos reescrever como:
Aqui, , e .

Passo 3

Vamos verificar se é um ponto singular regular.
Calculamos:
Para , observamos que tem um termo , que diverge quando . Isso indica que é um ponto singular. Porém, para ser um ponto singular regular, devemos ter que e não crescem mais rápido que e respectivamente.
No nosso caso, cresce como , o que está dentro dos critérios para um ponto singular regular.

Passo 4

Agora que identificamos como um ponto singular regular, vamos encontrar a solução em série de potências na forma .
Primeiro, assumimos uma solução da forma:
Onde são coeficientes a serem determinados e é um número real a ser encontrado.

Passo 5

Calculamos as derivadas de :
Substituímos e na equação diferencial:
Simplificando os termos:

Passo 6

Agora, alinhamos os índices para combinar os termos com potências iguais de . Vamos ajustar a segunda soma substituindo por :
Juntando tudo:

Passo 7

Para que essa igualdade seja verdadeira para todo , os coeficientes de cada potência de devem ser zero. Assim, obtemos a seguinte relação de recorrência:
Para :
Isso nos dá a equação característica:
Resolvendo:
Então, .
Para :

Passo 8

Substituindo na relação de recorrência:
Simplificando:
Então, a relação de recorrência fica:

Passo 9

Agora, vamos encontrar os coeficientes usando a relação de recorrência .
Começamos com . Vamos assumir , onde é uma constante arbitrária.
Para :
Como não está definido, consideramos .
Para :
Para :
Para :
E assim por diante.

Passo 10

Observamos que os coeficientes para ímpar são zero. Portanto, a solução em série será composta apenas por termos de potência pares.
Escrevendo a solução:

Resposta

Portanto, a equação diferencial tem um ponto singular regular em . Uma solução em série de potências para essa equação é:
Onde é uma constante arbitrária.

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Usando a definição de diferencial e o TFC para integrais não definidas cálcule a solução geral das seguintes equações diferenciais lineares de primeira ordem:
Mostre que cada uma das seguintes equações diferencias admite um ponto singular regular em . Além disso, para algum número real , determine uma solução em séries de potências da forma .
,
Determine se a série converge ou diverge (teste da razão, teste da raiz).
Determine se a série converge ou diverge (teste da razão, teste da raiz).