Usando a definição de diferencial e o TFC para integrais não definidas cálcule a solução geral das seguintes equações diferenciais lineares de primeira ordem:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de primeira ordem que você me mandou. A equação é:
Vamos usar a definição de diferencial e o Teorema Fundamental do Cálculo (TFC) para integrais indefinidas. O que precisamos fazer é integrar o lado direito dessa equação para encontrar a solução geral de
.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação diferencial de forma que possamos integrar:
Isso significa que:
Aqui,
é a constante de integração que aparece quando fazemos integrações indefinidas.
Passo 3
Agora, vamos resolver a integral:
Para facilitar a integração, vamos fazer uma substituição. Vamos definir:
Então, a derivada de
em relação a
é:
Isso significa que podemos rearranjar para encontrar
:
Passo 4
Substituindo
e
na integral original, temos:
Os termos
se cancelam, ficando:
Passo 5
Agora, vamos integrar
:
Lembrando que
, substituímos de volta:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
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Mostre que cada uma das seguintes equações diferencias admite um ponto singular regular em
. Além disso, para algum número real
, determine uma solução em séries de potências da forma
.
,
Usando a definição de diferencial e o TFC para integrais não definidas cálcule a solução geral das seguintes equações diferenciais lineares de primeira ordem:
Mostre que cada uma das seguintes equações diferencias admite um ponto singular regular em
. Além disso, para algum número real
, determine uma solução em séries de potências da forma
.
,
Determine se a série converge ou diverge (teste da razão, teste da raiz).