Usando a definição de diferencial e o TFC para integrais não definidas cálcule a solução geral das seguintes equações diferenciais lineares de primeira ordem:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de primeira ordem que você me mandou. A equação é:
Vamos usar a definição de diferencial e o Teorema Fundamental do Cálculo (TFC) para integrais indefinidas. O que precisamos fazer é integrar o lado direito dessa equação para encontrar a solução geral de .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação diferencial de forma que possamos integrar:
Isso significa que:
Aqui, é a constante de integração que aparece quando fazemos integrações indefinidas.

Passo 3

Agora, vamos resolver a integral:
Para facilitar a integração, vamos fazer uma substituição. Vamos definir:
Então, a derivada de em relação a é:
Isso significa que podemos rearranjar para encontrar :

Passo 4

Substituindo e na integral original, temos:
Os termos se cancelam, ficando:

Passo 5

Agora, vamos integrar :
Lembrando que , substituímos de volta:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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Mostre que cada uma das seguintes equações diferencias admite um ponto singular regular em . Além disso, para algum número real , determine uma solução em séries de potências da forma .
,
Usando a definição de diferencial e o TFC para integrais não definidas cálcule a solução geral das seguintes equações diferenciais lineares de primeira ordem:
Mostre que cada uma das seguintes equações diferencias admite um ponto singular regular em . Além disso, para algum número real , determine uma solução em séries de potências da forma .
,
Determine se a série converge ou diverge (teste da razão, teste da raiz).