Mostre que
não existe.
1 P.
1 P.
Passo 1
Vamos resumir o enunciado: queremos mostrar que o limite
não existe. Para isso, vamos utilizar conceitos de limites em várias variáveis, verificando se o limite é o mesmo quando nos aproximamos do ponto
por diferentes caminhos.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o limite ao longo do eixo
, ou seja, definindo
. Substituindo na expressão, temos:
Portanto, ao nos aproximarmos de
pelo eixo
, o limite é 1.
Passo 3
Agora, vamos calcular o limite ao longo do eixo
, definindo
. Substituindo na expressão, temos:
Assim, ao nos aproximarmos de
pelo eixo
, o limite é -1.
Passo 4
Como obtivemos resultados diferentes ao nos aproximarmos de
por caminhos diferentes (1 pelo eixo
e -1 pelo eixo
), isso indica que o limite depende do caminho escolhido.
Resposta
O limite
não existe, pois diferentes caminhos de aproximação resultam em valores distintos.
Exercícios relacionados
com as seguintes condições de contorno e inicial
Note que
é um ângulo polar,
e
representa o mesmo ponto, e portanto
. Em outras palavras,
tem período
em
.
em uma placa retangular unitária. Assuma condições de contorno homogênea,
, e
. A distribuição de temperatura inicial em
e dada por
. Apresente gráficos com a evolução da temperatura na placa para diferentes instantes de tempo:
, e 10.
Por diferenciação implícita, encontre a inclinaçâo do hiperbolóide
na direşão
no ponto
. Verifique seu resultado resolvendo para
e diferenciando as funções resultantes diretamente.
Determine se a série converge ou diverge usando o teste da comparação no limite.