Mostre que lim (x, y) (0,0) x^4-y^2x^4+y^2 não existe.
1 P.

Passo 1

Vamos resumir o enunciado: queremos mostrar que o limite
lim (x, y) (0,0) x^4-y^2x^4+y^2
não existe. Para isso, vamos utilizar conceitos de limites em várias variáveis, verificando se o limite é o mesmo quando nos aproximamos do ponto por diferentes caminhos.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o limite ao longo do eixo lim x 0 x^4-0^2x^4+0^2 = lim x 0 x^4x^4 = 1 , ou seja, definindo . Substituindo na expressão, temos:
Portanto, ao nos aproximarmos de pelo eixo , o limite é 1.

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite ao longo do eixo lim y 0 0^4-y^20^4+y^2 = lim y 0 -y^2y^2 = -1 , definindo . Substituindo na expressão, temos:
Assim, ao nos aproximarmos de pelo eixo , o limite é -1.

Passo 4

Como obtivemos resultados diferentes ao nos aproximarmos de por caminhos diferentes (1 pelo eixo e -1 pelo eixo ), isso indica que o limite depende do caminho escolhido.

Resposta

O limite
lim (x, y) (0,0) x^4-y^2x^4+y^2
não existe, pois diferentes caminhos de aproximação resultam em valores distintos.

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