Por diferenciação implícita, encontre a inclinaçâo do hiperbolóide
na direşão
no ponto
. Verifique seu resultado resolvendo para
e diferenciando as funções resultantes diretamente.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a inclinação, ou seja, a derivada, do hiperbolóide dado por
na direção do eixo
no ponto
. Para isso, vamos usar a diferenciação implícita e depois verificar o resultado resolvendo para
e diferenciando diretamente.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a diferenciação implícita na equação do hiperbolóide em relação a
. Lembre-se que, quando diferenciamos uma função implícita, tratamos
como uma função de
, ou seja,
.
Derivando ambos os lados da equação
em relação a
:
Passo 3
Agora, vamos calcular cada derivada:
-
porque é constante em relação a . -
. -
(usando a regra da cadeia). -
.
Substituindo essas derivadas na equação:
Passo 4
Agora, vamos isolar
:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 5
Agora, vamos substituir os valores do ponto dado
na expressão para
:
Passo 6
Para verificar, vamos resolver a equação do hiperbolóide para
e depois diferenciar diretamente em relação a
.
A equação
pode ser rearranjada para:
Então,
Passo 7
Agora, vamos derivar
em relação a
:
Passo 8
Substituindo os valores do ponto
:
Resposta
A inclinação do hiperbolóide na direção
no ponto
é
.
Exercícios relacionados
Mostre que
não existe.
1 P.
1 P.
com as seguintes condições de contorno e inicial
Note que
é um ângulo polar,
e
representa o mesmo ponto, e portanto
. Em outras palavras,
tem período
em
.
Determine se a série converge ou diverge usando o teste da comparação no limite.
Determine se a série converge ou diverge usando o teste da comparação no limite.
.