Por diferenciação implícita, encontre a inclinaçâo do hiperbolóide x^2 + y^2 - z^2 = 1 na direşão y no ponto (3, 4, 2 raiz(6)). Verifique seu resultado resolvendo para z e diferenciando as funções resultantes diretamente.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a inclinação, ou seja, a derivada, do hiperbolóide dado por na direção do eixo no ponto . Para isso, vamos usar a diferenciação implícita e depois verificar o resultado resolvendo para e diferenciando diretamente.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a diferenciação implícita na equação do hiperbolóide em relação a . Lembre-se que, quando diferenciamos uma função implícita, tratamos como uma função de , ou seja, .
Derivando ambos os lados da equação em relação a :

Passo 3

Agora, vamos calcular cada derivada:
  • porque é constante em relação a .
  • .
  • (usando a regra da cadeia).
  • .
Substituindo essas derivadas na equação:

Passo 4

Agora, vamos isolar :
Dividindo ambos os lados por :

Passo 5

Agora, vamos substituir os valores do ponto dado na expressão para :

Passo 6

Para verificar, vamos resolver a equação do hiperbolóide para e depois diferenciar diretamente em relação a .
A equação pode ser rearranjada para:
Então,

Passo 7

Agora, vamos derivar em relação a :

Passo 8

Substituindo os valores do ponto :

Resposta

A inclinação do hiperbolóide na direção no ponto é .

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