Resolva as EDOs abaixo, reduzindo a uma equação de primeira ordem:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente tem uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de segunda ordem:
O conteúdo aqui envolve resolver EDOs e reduzir uma equação de segunda ordem para uma de primeira ordem. Para resolver isso, vamos precisar usar substituições inteligentes e técnicas de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação. Vamos chamar
de
, ou seja,
. Com isso, a derivada segunda
fica
. Substituindo na equação original:
Essa substituição transforma nossa EDO de segunda ordem em uma de primeira ordem, mas ainda precisamos resolver para
.
Passo 3
Agora, vamos reescrever a equação para isolar
:
Aqui, temos uma equação que relaciona
,
e suas derivadas. Para facilitar, vamos tratar
como uma função de
, ou seja,
. Então, usando a regra da cadeia,
.
Substituindo isso na equação anterior:
Passo 4
Agora, vamos separar as variáveis para integrar. Reorganizando os termos:
Dividindo ambos os lados por
:
Pronto, agora conseguimos separar as variáveis
e
, o que facilita a integração.
Passo 5
Vamos integrar os dois lados:
A integral do lado esquerdo é:
E a integral do lado direito é:
Então, temos:
Passo 6
Vamos resolver para
. Primeiro, removemos o logaritmo exponenciando ambos os lados:
Onde
é uma constante qualquer. Então:
Lembrando que
, substituímos de volta:
Passo 7
Vamos resolver essa equação para
. Primeiro, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
Agora, separamos as variáveis
e
:
Passo 8
Vamos integrar ambos os lados novamente:
A integral do lado esquerdo resulta em:
E a integral do lado direito é simplesmente
. Igualando as duas integrais:
Passo 9
Vamos resolver para
:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Simplificando:
Para simplificar, podemos absorver as constantes em uma nova constante, já que
é arbitrária. Então, renomeamos
para outra constante
:
Resposta
A solução geral da EDO é:
Onde
e
são constantes de integração.
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Determine se a série converge ou diverge usando o teste da comparação.
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Para a EDO a seguir
, determine:
a solução geral;
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