Resolva as EDOs abaixo, reduzindo a uma equação de primeira ordem:
1 + (y')^2 = 2 y y''

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente tem uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de segunda ordem:
O conteúdo aqui envolve resolver EDOs e reduzir uma equação de segunda ordem para uma de primeira ordem. Para resolver isso, vamos precisar usar substituições inteligentes e técnicas de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação. Vamos chamar p de , ou seja, . Com isso, a derivada segunda fica . Substituindo na equação original:
Essa substituição transforma nossa EDO de segunda ordem em uma de primeira ordem, mas ainda precisamos resolver para p.

Passo 3

Agora, vamos reescrever a equação para isolar :
Aqui, temos uma equação que relaciona p, y e suas derivadas. Para facilitar, vamos tratar p como uma função de y, ou seja, . Então, usando a regra da cadeia, .
Substituindo isso na equação anterior:

Passo 4

Agora, vamos separar as variáveis para integrar. Reorganizando os termos:
Dividindo ambos os lados por :
Pronto, agora conseguimos separar as variáveis p e y, o que facilita a integração.

Passo 5

Vamos integrar os dois lados:
A integral do lado esquerdo é:
E a integral do lado direito é:
Então, temos:

Passo 6

Vamos resolver para . Primeiro, removemos o logaritmo exponenciando ambos os lados:
Onde é uma constante qualquer. Então:
Lembrando que , substituímos de volta:

Passo 7

Vamos resolver essa equação para y. Primeiro, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
Agora, separamos as variáveis y e x:

Passo 8

Vamos integrar ambos os lados novamente:
A integral do lado esquerdo resulta em:
E a integral do lado direito é simplesmente . Igualando as duas integrais:

Passo 9

Vamos resolver para y:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Simplificando:
Para simplificar, podemos absorver as constantes em uma nova constante, já que K é arbitrária. Então, renomeamos para outra constante :

Resposta

A solução geral da EDO é:
Onde C e K são constantes de integração.

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sumn=1^infty 1+sen(n)10^n
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a solução geral;