Determine se a série convergente ou divergente.
b)
b)
Passo 1
Vamos analisar a série
. O objetivo é determinar se essa série converge ou diverge. Para isso, vamos utilizar o Teste da Integral, que é uma ferramenta da análise de séries que nos ajuda a decidir a convergência ou divergência de séries positivas.
Passo 2
Primeiro, observamos que os termos da série são positivos para todo
, já que
é positivo para
. Isso é importante porque o Teste da Integral só funciona para séries com termos positivos.
Passo 3
O Teste da Integral nos diz que se tivermos uma função
contínua, positiva e decrescente para
(onde
é algum número natural), então a série
converge se e somente se a integral
converge.
Passo 4
Vamos definir
. Precisamos verificar se essa função é contínua, positiva e decrescente para
. Sabemos que
é contínua e positiva para
, e que
é decrescente para
suficientemente grande.
Passo 5
Agora, calculamos a integral imprópria
. Vamos resolver essa integral:
Sabemos que
. Portanto:
Passo 6
Agora, avaliaremos o limite da integral quando
tende ao infinito:
Resposta
Como a integral
diverge para o infinito, pelo Teste da Integral, a série
também diverge.
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f)
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c)
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d)
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i)
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