Determine se a série convergente ou divergente.
b)

Passo 1

Vamos analisar a série . O objetivo é determinar se essa série converge ou diverge. Para isso, vamos utilizar o Teste da Integral, que é uma ferramenta da análise de séries que nos ajuda a decidir a convergência ou divergência de séries positivas.

Passo 2

Primeiro, observamos que os termos da série são positivos para todo , já que é positivo para . Isso é importante porque o Teste da Integral só funciona para séries com termos positivos.

Passo 3

O Teste da Integral nos diz que se tivermos uma função contínua, positiva e decrescente para (onde é algum número natural), então a série converge se e somente se a integral converge.

Passo 4

Vamos definir . Precisamos verificar se essa função é contínua, positiva e decrescente para . Sabemos que é contínua e positiva para , e que é decrescente para suficientemente grande.

Passo 5

Agora, calculamos a integral imprópria . Vamos resolver essa integral:
Sabemos que . Portanto:

Passo 6

Agora, avaliaremos o limite da integral quando tende ao infinito:

Resposta

Como a integral diverge para o infinito, pelo Teste da Integral, a série também diverge.

Exercícios relacionados

Determine se a série convergente ou divergente.
f)
Determine se a série convergente ou divergente.
c)
Determine se a série convergente ou divergente.
d)
Determine se a série convergente ou divergente.
i)