Determine se a série convergente ou divergente.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente determinar se a série é convergente ou divergente. Isso está relacionado ao conteúdo de séries infinitas e testes de convergência. Para resolver, vamos precisar entender como comparar os termos da série com uma série que a gente já conhece, tipo uma série geométrica.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o comportamento dos termos da série conforme aumenta. Olhando para , percebemos que à medida que cresce, o termo no denominador vai dominar o 4, ou seja, para grandes .
Passo 3
Com isso, podemos simplificar a expressão para algo mais manejável. Se , então:
Isso transforma nossa série original em algo parecido com uma série geométrica.
Passo 4
Agora, vamos lembrar do critério das séries geométricas. Uma série geométrica da forma converge se , e diverge se . No nosso caso, vimos que os termos se comportam como , onde .
Passo 5
Como , sabemos que a série geométrica é convergente. Isso nos indica que a série original também converge, já que seus termos são basicamente iguais aos de uma série que a gente sabe que converge.