Determine se a série convergente ou divergente.
i)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma série infinita do tipo . O objetivo é determinar se essa série converge (tem soma finita) ou diverge (não tem soma finita). Para isso, vamos usar conceitos de séries numéricas, especialmente o Teste da Comparação, que nos ajuda a comparar a série em questão com outra que já sabemos se converge ou diverge.

Passo 2

Vamos analisar o termo geral da série: . Sabemos que, para valores grandes de , tende a zero, então se aproxima de . Isso significa que, à medida que aumenta, fica próximo de 1.

Passo 3

Agora, vamos comparar o termo com . Já que para todo , temos:
No entanto, sabemos que a série é uma série p, com , que é maior que 1. Séries p com convergem.

Passo 4

Apesar de , o que normalmente indicaria divergência, lembramos que é muito próximo de 1 para grandes valores de . Na verdade, pode ser aproximado por , então o crescimento de não é suficiente para fazer a série original divergir. Portanto, podemos usar o Teste da Comparação Limitada para concluir que a série converge.

Resposta

A série converge.

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