Determine se a série convergente ou divergente.
i)
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Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma série infinita do tipo
. O objetivo é determinar se essa série converge (tem soma finita) ou diverge (não tem soma finita). Para isso, vamos usar conceitos de séries numéricas, especialmente o Teste da Comparação, que nos ajuda a comparar a série em questão com outra que já sabemos se converge ou diverge.
Passo 2
Vamos analisar o termo geral da série:
. Sabemos que, para valores grandes de
,
tende a zero, então
se aproxima de
. Isso significa que, à medida que
aumenta,
fica próximo de 1.
Passo 3
Agora, vamos comparar o termo
com
. Já que
para todo
, temos:
No entanto, sabemos que a série
é uma série p, com
, que é maior que 1. Séries p com
convergem.
Passo 4
Apesar de
, o que normalmente indicaria divergência, lembramos que
é muito próximo de 1 para grandes valores de
. Na verdade,
pode ser aproximado por
, então o crescimento de
não é suficiente para fazer a série original divergir. Portanto, podemos usar o Teste da Comparação Limitada para concluir que a série converge.
Resposta
A série
converge.
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