Determine se a série convergente ou divergente.
c) sumn=1^infty n^2 2^n-17^n

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa descobrir se a série converge ou diverge. Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que é uma ferramenta super útil para analisar séries infinitas que envolvem potências. Vamos precisar calcular o limite da razão entre termos consecutivos da série.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o termo geral da série, que é:
an = n^2 2^n-17^n

Passo 3

Agora, para aplicar o Teste da Razão, vamos calcular a razão entre o termo seguinte an+1an = (n+1)^2 2^(n+1)-17^n+1 times 7^nn^2 2^n-1 e o termo atual :

Passo 4

Vamos simplificar essa expressão passo a passo:
  1. Simplificando os expoentes de 2 e 7:
    2^(n+1)-1 = 2^n e 7^n+1 = 7^n times 7
    Substituindo na expressão:
    an+1an = (n+1)^2 times 2^n7^n times 7 times 7^nn^2 times 2^n-1 = (n+1)^2n^2 times 2^n2^n-1 times 7^n7^n times 7
  2. Simplificando as potências:
    2^n2^n-1 = 2^1 = 2 e 7^n7^n times 7 = 17
    Então:
    an+1an = (n+1)^2n^2 times 2 times 17 = (n+1)^2n^2 times 27

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite dessa razão quando L = limn to infty (n+1)^2n^2 times 27 tende ao infinito:
(n+1)^2 = n^2 + 2n + 1
Primeiro, expandindo n^2 + 2n + 1n^2 = 1 + 2n + 1n^2 :
L = (1 + 0 + 0) times 27 = 27
Então:
Quando tende ao infinito, e tendem a zero. Portanto:

Passo 6

De acordo com o Teste da Razão, se o limite L = 27 < 1 for menor que 1, a série converge; se for maior que 1, diverge; e se for igual a 1, o teste é inconclusivo. No nosso caso:

Resposta

A série converge.

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