Determine se a série convergente ou divergente.
c)
c)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa descobrir se a série
converge ou diverge. Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que é uma ferramenta super útil para analisar séries infinitas que envolvem potências. Vamos precisar calcular o limite da razão entre termos consecutivos da série.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o termo geral da série, que é:
Passo 3
Agora, para aplicar o Teste da Razão, vamos calcular a razão entre o termo seguinte
e o termo atual
:
Passo 4
Vamos simplificar essa expressão passo a passo:
-
Simplificando os expoentes de 2 e 7:Substituindo na expressão:
-
Simplificando as potências:Então:
Passo 5
Agora, vamos calcular o limite dessa razão quando
tende ao infinito:
Primeiro, expandindo
:
Então:
Quando
tende ao infinito,
e
tendem a zero. Portanto:
Passo 6
De acordo com o Teste da Razão, se o limite
for menor que 1, a série converge; se for maior que 1, diverge; e se for igual a 1, o teste é inconclusivo. No nosso caso:
Resposta
A série
converge.
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e)
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i)
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f)
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