Determine se a série convergente ou divergente.
c)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa descobrir se a série converge ou diverge. Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que é uma ferramenta super útil para analisar séries infinitas que envolvem potências. Vamos precisar calcular o limite da razão entre termos consecutivos da série.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o termo geral da série, que é:

Passo 3

Agora, para aplicar o Teste da Razão, vamos calcular a razão entre o termo seguinte e o termo atual :

Passo 4

Vamos simplificar essa expressão passo a passo:
  1. Simplificando os expoentes de 2 e 7:
    Substituindo na expressão:
  2. Simplificando as potências:
    Então:

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite dessa razão quando tende ao infinito:
Primeiro, expandindo :
Então:
Quando tende ao infinito, e tendem a zero. Portanto:

Passo 6

De acordo com o Teste da Razão, se o limite for menor que 1, a série converge; se for maior que 1, diverge; e se for igual a 1, o teste é inconclusivo. No nosso caso:

Resposta

A série converge.

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e)
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h)
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i)
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f)