Determine se a série convergente ou divergente.
f)
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Passo 1
Ok, vamos lá! A questão pede para a gente determinar se a série
converge ou diverge. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos sobre séries alternadas e os critérios de convergência.
Passo 2
Primeiro, percebemos que a série é alternada por causa do termo
. Séries alternadas são aquelas onde os sinais dos termos mudam de positivo para negativo a cada termo. Para analisar a convergência dessas séries, usamos o Teste da Série Alternada.
Passo 3
O Teste da Série Alternada diz o seguinte: se os termos da série, sem considerar o sinal, ou seja,
, são positivos, formam uma sequência decrescente e tendem a zero quando
vai para infinito, então a série alternada converge.
Passo 4
Vamos verificar cada uma dessas condições:
- Positividade:
é positivo para todo , já que e . - Decrescência: Para ver se
está decrescendo, olhamos para os termos conforme aumenta. Conforme aumenta, diminui, fazendo se aproximar de . Como dividimos por , que está aumentando, o termo diminui. - Limite zero: Calculando o limite quando
vai para infinito: Então, tende a zero.
Passo 5
Como todas as condições do Teste da Série Alternada são satisfeitas (positividade, decrescência e limite zero), podemos concluir que a série
converge.
Resposta
A série
é convergente.
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