Determine se a série convergente ou divergente.
f)

Passo 1

Ok, vamos lá! A questão pede para a gente determinar se a série converge ou diverge. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos sobre séries alternadas e os critérios de convergência.

Passo 2

Primeiro, percebemos que a série é alternada por causa do termo . Séries alternadas são aquelas onde os sinais dos termos mudam de positivo para negativo a cada termo. Para analisar a convergência dessas séries, usamos o Teste da Série Alternada.

Passo 3

O Teste da Série Alternada diz o seguinte: se os termos da série, sem considerar o sinal, ou seja, , são positivos, formam uma sequência decrescente e tendem a zero quando vai para infinito, então a série alternada converge.

Passo 4

Vamos verificar cada uma dessas condições:
  1. Positividade: é positivo para todo , já que e .
  2. Decrescência: Para ver se está decrescendo, olhamos para os termos conforme aumenta. Conforme aumenta, diminui, fazendo se aproximar de . Como dividimos por , que está aumentando, o termo diminui.
  3. Limite zero: Calculando o limite quando vai para infinito: Então, tende a zero.

Passo 5

Como todas as condições do Teste da Série Alternada são satisfeitas (positividade, decrescência e limite zero), podemos concluir que a série converge.

Resposta

A série é convergente.

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