Determine se a série convergente ou divergente.
i)
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente descobrir se a série
converge ou diverge. Isso está ligado ao conteúdo de Séries Infinitas e Testes de Convergência que usamos em Cálculo. Para resolver, vamos precisar entender como comparar a série dada com outras séries que já sabemos se convergem ou divergem.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o comportamento geral dos termos da série quando
fica bem grande, ou seja,
. Olhando para a fração
, percebemos que para valores grandes de
, os termos de maior grau (aqui,
no numerador e
no denominador) dominam.
Então, simplificando, temos:
Isso significa que, para
grande,
se comporta como
.
Passo 3
Agora, vamos comparar essa série com uma série que já conhecemos: a série harmônica, que é
. Sabemos que a série harmônica diverge, ou seja, ela não tem uma soma finita.
Para fazer uma comparação formal, usamos o Teste de Comparação, que nos ajuda a decidir a convergência ou divergência de uma série comparando-a com outra série de referência.
Passo 4
Aplicando o Teste de Comparação, observamos que para todo
:
Isso porque
para
.
Passo 5
Como
é metade dos termos da série harmônica, e a série harmônica diverge, então multiplicar por um número constante positivo (
) mantém o comportamento de divergência. Ou seja:
Também diverge.
Passo 6
Pelo Teste de Comparação, se uma série maior que uma série conhecida por divergir também diverge, então nossa série original
deve divergir.
Resposta
A série
diverge.
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c)
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e)
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f)
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l)
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