Determine se a série convergente ou divergente.
i)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente descobrir se a série converge ou diverge. Isso está ligado ao conteúdo de Séries Infinitas e Testes de Convergência que usamos em Cálculo. Para resolver, vamos precisar entender como comparar a série dada com outras séries que já sabemos se convergem ou divergem.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento geral dos termos da série quando fica bem grande, ou seja, . Olhando para a fração , percebemos que para valores grandes de , os termos de maior grau (aqui, no numerador e no denominador) dominam.
Então, simplificando, temos:
Isso significa que, para grande, se comporta como .

Passo 3

Agora, vamos comparar essa série com uma série que já conhecemos: a série harmônica, que é . Sabemos que a série harmônica diverge, ou seja, ela não tem uma soma finita.
Para fazer uma comparação formal, usamos o Teste de Comparação, que nos ajuda a decidir a convergência ou divergência de uma série comparando-a com outra série de referência.

Passo 4

Aplicando o Teste de Comparação, observamos que para todo :
Isso porque para .

Passo 5

Como é metade dos termos da série harmônica, e a série harmônica diverge, então multiplicar por um número constante positivo ( ) mantém o comportamento de divergência. Ou seja:
Também diverge.

Passo 6

Pelo Teste de Comparação, se uma série maior que uma série conhecida por divergir também diverge, então nossa série original deve divergir.

Resposta

A série diverge.

Exercícios relacionados

Determine se a série convergente ou divergente.
c)
Determine se a série convergente ou divergente.
e)
Determine se a série convergente ou divergente.
f)
Determine se a série convergente ou divergente.
l)