Determine se a série convergente ou divergente.
a)
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Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui. O exercício pede para determinar se a série
é convergente ou divergente. Isso está dentro do conteúdo de Séries Numéricas, especificamente utilizando o Teste da Divergência para analisar o comportamento da série.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teste da Divergência. Esse teste é super útil para séries infinitas e basicamente diz o seguinte: se o limite dos termos gerais da série, quando
tende ao infinito, não é zero, então a série não converge, ou seja, ela diverge. Em termos matemáticos, se
, a série
diverge.
Passo 3
Agora, vamos aplicar esse teste à nossa série. Aqui, o termo geral da série é
. Vamos calcular o limite desse termo quando
tende ao infinito:
Para resolver esse limite, podemos dividir o numerador e o denominador por
:
Passo 4
O limite que encontramos é
, que é diferente de zero. Segundo o Teste da Divergência, se
, a série diverge. Portanto, não importa quão os termos anteriores se comportem; se o limite não for zero, a série não pode convergir.
Resposta
A série
diverge.
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