Determine se a série convergente ou divergente.
a) sumn=1^infty nn+2

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui. O exercício pede para determinar se a série é convergente ou divergente. Isso está dentro do conteúdo de Séries Numéricas, especificamente utilizando o Teste da Divergência para analisar o comportamento da série.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teste da Divergência. Esse teste é super útil para séries infinitas e basicamente diz o seguinte: se o limite dos termos gerais da série, quando tende ao infinito, não é zero, então a série não converge, ou seja, ela diverge. Em termos matemáticos, se , a série diverge.

Passo 3

Agora, vamos aplicar esse teste à nossa série. Aqui, o termo geral da série é limn to infty nn+2 . Vamos calcular o limite desse termo quando limn to infty nnnn + 2n = limn to infty 11 + 2n = 11 + 0 = 1 tende ao infinito:
Para resolver esse limite, podemos dividir o numerador e o denominador por :

Passo 4

O limite que encontramos é , que é diferente de zero. Segundo o Teste da Divergência, se , a série diverge. Portanto, não importa quão os termos anteriores se comportem; se o limite não for zero, a série não pode convergir.

Resposta

A série diverge.

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