Determine se a série é convergente ou divergente expressando como uma soma telescópica (como no Exemplo 7). Se for convergente, calcule sua soma.
Passo 1
Beleza, o enunciado pede para a gente verificar se a série converge ou diverge, usando uma soma telescópica. Isso envolve entender séries infinitas e como simplificar termos usando propriedades dos logaritmos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma soma telescópica. É uma série onde a maior parte dos termos internos se cancelam quando somamos, restando apenas termos no começo e no fim. Para isso, vamos reescrever cada termo da série.
Passo 3
Observe que pode ser separado usando a propriedade dos logaritmos: . Então, a série fica:
Passo 4
Agora, vamos escrever os primeiros termos da série para ver o esquema telescópico:
Perceba que se cancela com , com , e assim por diante. O que sobra é apenas e o termo que “vai para o infinito”, que seria .
Passo 5
Calculando a soma parcial até o termo :
Agora, vamos ver o que acontece quando tende ao infinito:
Isso significa que a soma parcial vai para menos infinito.