Determine se a série é convergente ou divergente expressando sn como uma soma telescópica (como no Exemplo 7). Se for convergente, calcule sua soma.
sumn=1^infty ln nn+1

Passo 1

Beleza, o enunciado pede para a gente verificar se a série sumn=1^infty ln nn+1 converge ou diverge, usando uma soma telescópica. Isso envolve entender séries infinitas e como simplificar termos usando propriedades dos logaritmos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma soma telescópica. É uma série onde a maior parte dos termos internos se cancelam quando somamos, restando apenas termos no começo e no fim. Para isso, vamos reescrever cada termo da série.

Passo 3

Observe que ln nn+1 pode ser separado usando a propriedade dos logaritmos: ln nn+1 = ln n - ln (n+1). Então, a série fica:
sumn=1^infty (ln n - ln (n+1))

Passo 4

Agora, vamos escrever os primeiros termos da série para ver o esquema telescópico:
(ln 1 - ln 2) + (ln 2 - ln 3) + (ln 3 - ln 4) + dots
Perceba que ln 2 se cancela com -ln 2, ln 3 com -ln 3, e assim por diante. O que sobra é apenas ln 1 e o termo que “vai para o infinito”, que seria -ln (n+1).

Passo 5

Calculando a soma parcial até o termo N:
SN = ln 1 - ln (N+1) = -ln (N+1)
Agora, vamos ver o que acontece quando N tende ao infinito:
limN to infty -ln (N+1) = -infty
Isso significa que a soma parcial vai para menos infinito.

Resposta

A série sumn=1^infty ln nn+1 é divergente.

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