Determine se a série é convergente ou divergente expressando
como uma soma telescópica (como no Exemplo 7). Se for convergente, calcule sua soma.
Passo 1
Beleza, então a gente tem que analisar a série
para ver se ela converge ou diverge. Vamos usar o conceito de soma telescópica, que é quando termos se cancelam de maneira que sobra apenas algumas partes. Para isso, precisamos entender como os termos da série se comportam quando a gente escreve alguns deles juntos.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever os primeiros termos da série para identificar o padrão telescópico:
Passo 3
Observando essa soma, dá pra ver que
do primeiro termo cancela com
do segundo termo,
do segundo cancela com
do terceiro, e assim por diante. Esse é o comportamento típico de uma soma telescópica, onde a maior parte dos termos internos se cancelam.
Passo 4
Após esse cancelamento, o que sobra é apenas o primeiro termo positivo e o último termo negativo no final. Porém, como estamos lidando com uma série infinita, o último termo negativo tende a zero conforme
vai para o infinito, já que
se aproxima de
, mas com
indo ao infinito,
vai para zero.
Passo 5
Portanto, a soma da série telescópica fica:
Isso mostra que a série converge, já que a soma resultante é um número finito.
Resposta
A série é convergente e sua soma é
.
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Explique porque a função é diferenciável no ponto dado. Faça então a linearização
da função no ponto.
no ponto
.
Explique porque a função é diferenciável no ponto dado. Faça então a linearização
da função no ponto.
no ponto
.
Seja
.
Você pensa que ou
?
Você pensa que
Uma sequência de termos é definida por
Calcule
.