Determine se a série é convergente ou divergente expressando sn como uma soma telescópica (como no Exemplo 7). Se for convergente, calcule sua soma.
sumn=1^infty(e^1 / n-e^1 /(n+1))

Passo 1

Beleza, então a gente tem que analisar a série para ver se ela converge ou diverge. Vamos usar o conceito de soma telescópica, que é quando termos se cancelam de maneira que sobra apenas algumas partes. Para isso, precisamos entender como os termos da série se comportam quando a gente escreve alguns deles juntos.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever os primeiros termos da série para identificar o padrão telescópico:
S &= (e^1/1 - e^1/2) + (e^1/2 - e^1/3) + (e^1/3 - e^1/4) + cdots

Passo 3

Observando essa soma, dá pra ver que do primeiro termo cancela com do segundo termo, do segundo cancela com do terceiro, e assim por diante. Esse é o comportamento típico de uma soma telescópica, onde a maior parte dos termos internos se cancelam.

Passo 4

Após esse cancelamento, o que sobra é apenas o primeiro termo positivo e o último termo negativo no final. Porém, como estamos lidando com uma série infinita, o último termo negativo tende a zero conforme vai para o infinito, já que se aproxima de , mas com indo ao infinito, vai para zero.

Passo 5

Portanto, a soma da série telescópica fica:
S = e^1/1 - limn to infty e^1/(n+1) = e - 1
Isso mostra que a série converge, já que a soma resultante é um número finito.

Resposta

A série é convergente e sua soma é .

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