Explique porque a função é diferenciável no ponto dado. Faça então a linearização L(x, y) da função no ponto.
f(x, y) = y ln(x) no ponto (2,1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente explicar por que a função é diferenciável no ponto . Depois, a gente vai encontrar a linearização dessa função nesse ponto. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser diferenciável e como calcular a linearização usando derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos ver por que é diferenciável no ponto . Uma função é diferenciável em um ponto se suas derivadas parciais existem e são contínuas nesse ponto. Vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e :
  • Derivada parcial em relação a :
  • Derivada parcial em relação a :
Agora, avaliando essas derivadas no ponto :
Como as derivadas parciais existem e são contínuas em , a função é diferenciável nesse ponto.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a linearização da função no ponto . A fórmula para a linearização é:
Onde . Primeiro, calculamos :
Agora, substituindo na fórmula:

Resposta

A linearização da função no ponto é:

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