Explique porque a função é diferenciável no ponto dado. Faça então a linearização
da função no ponto.
no ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente explicar por que a função
é diferenciável no ponto
. Depois, a gente vai encontrar a linearização
dessa função nesse ponto. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser diferenciável e como calcular a linearização usando derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos ver por que
é diferenciável no ponto
. Uma função é diferenciável em um ponto se suas derivadas parciais existem e são contínuas nesse ponto. Vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
:
-
Derivada parcial em relação a
: -
Derivada parcial em relação a
:
Agora, avaliando essas derivadas no ponto
:
Como as derivadas parciais existem e são contínuas em
, a função
é diferenciável nesse ponto.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a linearização
da função
no ponto
. A fórmula para a linearização é:
Onde
. Primeiro, calculamos
:
Agora, substituindo na fórmula:
Resposta
A linearização da função
no ponto
é:
Exercícios relacionados
Explique porque a função é diferenciável no ponto dado. Faça então a linearização
da função no ponto.
no ponto
.
Seja
. Qual o domínio da função
?
Determine se a série é convergente ou divergente expressando
como uma soma telescópica (como no Exemplo 7). Se for convergente, calcule sua soma.
Seja
.
Você pensa que ou
?
Você pensa que