Explique porque a função é diferenciável no ponto dado. Faça então a linearização da função no ponto.
no ponto .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente explicar por que a função é diferenciável no ponto . Depois, a gente vai encontrar a linearização dessa função nesse ponto. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser diferenciável e como calcular a linearização usando derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos ver por que é diferenciável no ponto . Uma função é diferenciável em um ponto se suas derivadas parciais existem e são contínuas nesse ponto. Vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e :
  • Derivada parcial em relação a :
  • Derivada parcial em relação a :
Agora, avaliando essas derivadas no ponto :
Como as derivadas parciais existem e são contínuas em , a função é diferenciável nesse ponto.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a linearização da função no ponto . A fórmula para a linearização é:
Onde . Primeiro, calculamos :
Agora, substituindo na fórmula:

Resposta

A linearização da função no ponto é:

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Explique porque a função é diferenciável no ponto dado. Faça então a linearização da função no ponto.
no ponto .
Seja . Qual o domínio da função ?
Determine se a série é convergente ou divergente expressando como uma soma telescópica (como no Exemplo 7). Se for convergente, calcule sua soma.
Seja .
Você pensa que ou ?