Explique porque a função é diferenciável no ponto dado. Faça então a linearização da função no ponto.
no ponto .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente explicar por que a função é diferenciável no ponto e depois encontrar a linearização dessa função nesse ponto. Vamos precisar saber sobre diferenciabilidade de funções de várias variáveis e como calcular a linearização usando derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma função ser diferenciável em um ponto. Uma função é diferenciável no ponto se ela pode ser aproximada por uma função linear perto desse ponto. Isso significa que as derivadas parciais existem e são contínuas perto de .

Passo 3

Vamos verificar se as derivadas parciais de existem e são contínuas no ponto .
A derivada parcial de em relação a é:
E a derivada parcial de em relação a é:

Passo 4

Agora, vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto :
Como as derivadas parciais existem e são contínuas em , podemos concluir que a função é diferenciável nesse ponto.

Passo 5

Com a diferenciabilidade confirmada, vamos encontrar a linearização da função no ponto . A fórmula da linearização é:
Onde .

Passo 6

Primeiro, calculamos :
Agora, já temos e .

Passo 7

Substituindo esses valores na fórmula da linearização:
Simplificando:

Resposta

A função é diferenciável no ponto e a linearização nesse ponto é:

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