Explique porque a função é diferenciável no ponto dado. Faça então a linearização
da função no ponto.
no ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente explicar por que a função
é diferenciável no ponto
e depois encontrar a linearização
dessa função nesse ponto. Vamos precisar saber sobre diferenciabilidade de funções de várias variáveis e como calcular a linearização usando derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma função ser diferenciável em um ponto. Uma função
é diferenciável no ponto
se ela pode ser aproximada por uma função linear perto desse ponto. Isso significa que as derivadas parciais existem e são contínuas perto de
.
Passo 3
Vamos verificar se as derivadas parciais de
existem e são contínuas no ponto
.
A derivada parcial de
em relação a
é:
E a derivada parcial de
em relação a
é:
Passo 4
Agora, vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto
:
Como as derivadas parciais existem e são contínuas em
, podemos concluir que a função
é diferenciável nesse ponto.
Passo 5
Com a diferenciabilidade confirmada, vamos encontrar a linearização
da função no ponto
. A fórmula da linearização é:
Onde
.
Passo 6
Primeiro, calculamos
:
Agora, já temos
e
.
Passo 7
Substituindo esses valores na fórmula da linearização:
Simplificando:
Resposta
A função é diferenciável no ponto
e a linearização nesse ponto é:
Exercícios relacionados
Seja
. Qual o domínio da função
?
Seja
. Qual o domínio da função
?
Explique porque a função é diferenciável no ponto dado. Faça então a linearização
da função no ponto.
no ponto
.
Determine se a série é convergente ou divergente expressando
como uma soma telescópica (como no Exemplo 7). Se for convergente, calcule sua soma.