Determine se a série é convergente ou divergente expressando como uma soma telescópica (como no Exemplo 6). Se for convergente, calcule sua soma.
45.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para verificar se a série é convergente ou divergente, expressando a soma parcial como uma soma telescópica. Se for convergente, também precisamos calcular o valor da soma. Para isso, vamos usar conceitos de séries infinitas e somas telescópicas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série, , usando frações parciais. A ideia aqui é decompor a fração em duas partes que facilitarão a soma.

Passo 3

Vamos supor que . Nosso objetivo é encontrar os valores de e .
Multiplicando ambos os lados por para eliminar os denominadores, temos:

Passo 4

Agora, vamos escolher valores de para simplificar a equação e encontrar e .
Se :
Se :

Passo 5

Agora que encontramos e , podemos reescrever o termo geral:

Passo 6

Com essa decomposição, a soma parcial fica:
Essa é uma soma telescópica porque muitos termos vão se cancelar quando expandirmos a soma.

Passo 7

Vamos expandir a soma para visualizar o cancelamento:
Observamos que os termos , , , etc., vão se cancelando com os termos posteriores da soma.

Passo 8

Após o cancelamento, restam os primeiros três termos e os últimos três negativos:

Passo 9

Agora, para verificar a convergência da série, vamos analisar o limite de quando tende ao infinito:
Os termos , e tendem a zero quando .

Passo 10

Portanto, o limite é:

Resposta

A série é convergente e sua soma é .

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55. 1,234567
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b) .