Determine se a série é convergente ou divergente expressando
como uma soma telescópica (como no Exemplo 6). Se for convergente, calcule sua soma.
45.
45.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para verificar se a série
é convergente ou divergente, expressando a soma parcial
como uma soma telescópica. Se for convergente, também precisamos calcular o valor da soma. Para isso, vamos usar conceitos de séries infinitas e somas telescópicas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série,
, usando frações parciais. A ideia aqui é decompor a fração em duas partes que facilitarão a soma.
Passo 3
Vamos supor que
. Nosso objetivo é encontrar os valores de
e
.
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar os denominadores, temos:
Passo 4
Agora, vamos escolher valores de
para simplificar a equação e encontrar
e
.
Se
:
Se
:
Passo 5
Agora que encontramos
e
, podemos reescrever o termo geral:
Passo 6
Com essa decomposição, a soma parcial
fica:
Essa é uma soma telescópica porque muitos termos vão se cancelar quando expandirmos a soma.
Passo 7
Vamos expandir a soma para visualizar o cancelamento:
Observamos que os termos
,
,
, etc., vão se cancelando com os termos posteriores da soma.
Passo 8
Após o cancelamento, restam os primeiros três termos e os últimos três negativos:
Passo 9
Agora, para verificar a convergência da série, vamos analisar o limite de
quando
tende ao infinito:
Os termos
,
e
tendem a zero quando
.
Passo 10
Portanto, o limite é:
Resposta
A série
é convergente e sua soma é
.
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29.
Expresse o número como uma razão de inteiros.
55. 1,234567
55. 1,234567
Verifique se a forma é exata e, nos casos afirmativos, determine um potencial do qual ela deriva.
b) .
b)