Determine se a série é convergente ou divergente expressando sn como uma soma telescópica (como no Exemplo 6). Se for convergente, calcule sua soma.
45. sumn=1^infty 3n(n+3)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para verificar se a série é convergente ou divergente, expressando a soma parcial como uma soma telescópica. Se for convergente, também precisamos calcular o valor da soma. Para isso, vamos usar conceitos de séries infinitas e somas telescópicas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série, , usando frações parciais. A ideia aqui é decompor a fração em duas partes que facilitarão a soma.

Passo 3

Vamos supor que 3 = A(n+3) + Bn. Nosso objetivo é encontrar os valores de e .
Multiplicando ambos os lados por para eliminar os denominadores, temos:

Passo 4

Agora, vamos escolher valores de 3 = A(0) + B(-3) para simplificar a equação e encontrar 3 = -3B e B = -1.
Se 3 = A(3) + B(0):
3 = 3A
A = 1
Se :

Passo 5

Agora que encontramos 3n(n+3) = 1n - 1n+3 e , podemos reescrever o termo geral:

Passo 6

Com essa decomposição, a soma parcial sn = sumk=1^n ( 1k - 1k+3 ) fica:
Essa é uma soma telescópica porque muitos termos vão se cancelar quando expandirmos a soma.

Passo 7

Vamos expandir a soma para visualizar o cancelamento:
sn = (11 - 14) + (12 - 15) + (13 - 16) + cdots + (1n - 1n+3)
Observamos que os termos , , , etc., vão se cancelando com os termos posteriores da soma.

Passo 8

Após o cancelamento, restam os primeiros três termos e os últimos três negativos:
sn = 11 + 12 + 13 - (1n+1 + 1n+2 + 1n+3)

Passo 9

Agora, para verificar a convergência da série, vamos analisar o limite de limn to infty sn = 11 + 12 + 13 - limn to infty (1n+1 + 1n+2 + 1n+3) quando tende ao infinito:
Os termos , e tendem a zero quando .

Passo 10

Portanto, o limite é:
limn to infty sn = 1 + 12 + 13 = 66 + 36 + 26 = 116

Resposta

A série é convergente e sua soma é .

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