Verifique se a forma é exata e, nos casos afirmativos, determine um potencial do qual ela deriva.
b) [sen(y x) + x y cos(x y)] dx + [x^2 cos(x y)] dy.

Passo 1

Vamos verificar se a forma diferencial dada é exata e, se for, encontrar uma função potencial dela. A matéria envolvida aqui é Cálculo Diferencial, especificamente sobre formas diferenciais exatas e funções potenciais. Para resolver isso, precisamos checar se as derivadas parciais cruzadas satisfazem uma condição específica e, se sim, integrar para encontrar a função potencial.

Passo 2

Primeiro, identificamos os componentes da forma diferencial:

Passo 3

Para verificar se a forma é exata, precisamos checar se:

Passo 4

Calculamos a derivada parcial de em relação a :

Passo 5

Agora, calculamos a derivada parcial de em relação a :

Passo 6

Comparamos as duas derivadas parciais:
Observamos que:

Resposta

A forma diferencial fornecida não é exata, pois as derivadas parciais cruzadas não são iguais.

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