Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.
39.

Passo 1

Beleza, a gente tem que decidir se a série é convergente ou divergente. A matéria que vamos usar aqui é Séries e Sequências, mais especificamente, vamos analisar o comportamento dos termos da série para determinar sua convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de um teste básico para séries: se o limite dos termos da série não for zero, a série diverge. Ou seja, se , então a série não tem soma finita.

Passo 3

Vamos calcular o limite do termo geral da série:
Sabemos que é a função arco-tangente de , e quando cresce sem limites, se aproxima de .

Passo 4

Portanto:
Como o limite não é zero, segundo o teste que mencionamos no Passo 2, a série diverge.

Resposta

A série é divergente.

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29.
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Determine se a série é convergente ou divergente expressando como uma soma telescópica (como no Exemplo 6). Se for convergente, calcule sua soma.
45.
Expresse o número como uma razão de inteiros.
55. 1,234567