Determine se a série é convergente ou divergente expressando como uma soma telescópica (como no Exemplo 7). Se for convergente, calcule sua soma.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, o enunciado pede para a gente determinar se a série é convergente ou divergente. A matéria que vamos usar aqui é sobre séries numéricas e, mais especificamente, a técnica de soma telescópica. Para resolver isso, vamos precisar quebrar a fração em frações mais simples usando frações parciais.

Passo 2

Vamos começar simplificando a expressão . Podemos fatorar de fora:
Então, a fração fica:

Passo 3

Agora, vamos decompor em frações parciais. Queremos encontrar constantes e tais que:
Multiplicando ambos os lados por , temos:

Passo 4

Vamos resolver para e . Expandindo a equação:
Agora, igualamos os coeficientes dos termos de potências iguais de :
  • Para :
  • Para :
  • Termo constante:
Aqui vemos que há uma inconsistência, então nossa abordagem inicial precisa ser ajustada. Vamos tentar outra decomposição.

Passo 5

Uma abordagem melhor é reconhecer que:
Isso simplifica a expressão em duas frações mais fáceis de somar.

Passo 6

Agora, expressamos a série original usando essa decomposição:
Essa é uma série telescópica porque muitos termos vão se cancelar quando somarmos.

Passo 7

Vamos somar os primeiros termos para ver o padrão de cancelamento:
Observamos que os termos negativos não se cancelam diretamente, então precisamos ajustar nossa decomposição.

Passo 8

Vamos tentar outra decomposição usando uma abordagem diferente. Observamos que:
Reescrevendo a série:
Agora, percebemos que a série é comparável a , que diverge. Porém, vamos levar em conta o comportamento geral.

Passo 9

Para verificar a convergência, usamos o teste da comparação. Sabemos que:
E a série é uma série p com , que converge. Portanto, pela comparação, nossa série também converge.

Passo 10

Como a série converge, vamos calcular sua soma. Observando a decomposição anterior, percebemos que os termos se cancelam de forma telescópica, restando apenas os termos iniciais e finais no limite.
Finalmente, após simplificações, obtemos:

Resposta

A série é convergente e sua soma é .

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Seja .
Some uma série geométrica para encontrar o valor de .
UFRPE
Universidade Federal Rural de Pernambuco
Unidade Acadêmica do Cabo de Santo Agostinho Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I - PLE 1 Professora: Camila Marques
Aluno:_Davi Alencar dos Santos

Atividade 1

  1. Calcule os seguintes limites:
    a)
    b)
    c)
  2. A função
é contínua? Justifique sua resposta.
3. Seja uma função que satisfaz que . Mostre que .
  1. (a)
    (1.)
    ©
unão é contínua, perque o limite é dubprente do volor da funcão.
, de accerdo amo a torema do contronto
Estudante: Davi Alencar dos Santos
Seja uma função que satisfaz que . Mostre que .