Seja
uma função que satisfaz que
. Mostre que
.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma função
que está sempre entre -1 e 1 para qualquer valor de
. O objetivo é mostrar que o limite de
quando
se aproxima de 0 é igual a 0. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites e o Teorema do Sanduíche (também conhecido como Teorema da Aperto).
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a expressão
. Sabemos que
. Então, multiplicando todos os lados dessa desigualdade por
(que é sempre positivo), temos:
Isso significa que
está sempre “esmagado” entre
e
.
Passo 3
Agora, precisamos calcular os limites de
e
quando
se aproxima de 0. Sabemos que:
Ambos os limites são iguais a 0.
Passo 4
Com base no Teorema do Sanduíche, se uma função está sempre entre duas outras funções que têm o mesmo limite em um determinado ponto, então o limite da função intermediária também é esse mesmo valor. Aqui,
está entre
e
, e ambos os limites laterais são 0. Portanto, concluímos que:
Resposta
O limite de
quando
se aproxima de 0 é igual a 0.