Seja h uma função que satisfaz que -1 <= h(x) <= 1. Mostre que lim x 0 x^2 cdot h(x)=0.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma função que está sempre entre -1 e 1 para qualquer valor de . O objetivo é mostrar que o limite de quando se aproxima de 0 é igual a 0. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites e o Teorema do Sanduíche (também conhecido como Teorema da Aperto).

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a expressão - x^2 <= x^2 cdot h(x) <= x^2 . Sabemos que . Então, multiplicando todos os lados dessa desigualdade por (que é sempre positivo), temos:
Isso significa que está sempre “esmagado” entre e .

Passo 3

Agora, precisamos calcular os limites de limx to 0 -x^2 = 0 e limx to 0 x^2 = 0 e quando se aproxima de 0. Sabemos que:
Ambos os limites são iguais a 0.

Passo 4

Com base no Teorema do Sanduíche, se uma função está sempre entre duas outras funções que têm o mesmo limite em um determinado ponto, então o limite da função intermediária também é esse mesmo valor. Aqui, limx to 0 x^2 cdot h(x) = 0 está entre e , e ambos os limites laterais são 0. Portanto, concluímos que:

Resposta

O limite de quando se aproxima de 0 é igual a 0.

Exercícios relacionados