Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma função que está sempre entre -1 e 1 para qualquer valor de . O objetivo é mostrar que o limite de quando se aproxima de 0 é igual a 0. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites e o Teorema do Sanduíche (também conhecido como Teorema da Aperto).
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a expressão . Sabemos que . Então, multiplicando todos os lados dessa desigualdade por (que é sempre positivo), temos:
Isso significa que está sempre “esmagado” entre e .
Passo 3
Agora, precisamos calcular os limites de e quando se aproxima de 0. Sabemos que:
Ambos os limites são iguais a 0.
Passo 4
Com base no Teorema do Sanduíche, se uma função está sempre entre duas outras funções que têm o mesmo limite em um determinado ponto, então o limite da função intermediária também é esse mesmo valor. Aqui, está entre e , e ambos os limites laterais são 0. Portanto, concluímos que: