Seja uma função que satisfaz que . Mostre que .

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma função que está sempre entre -1 e 1 para qualquer valor de . O objetivo é mostrar que o limite de quando se aproxima de 0 é igual a 0. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites e o Teorema do Sanduíche (também conhecido como Teorema da Aperto).

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a expressão . Sabemos que . Então, multiplicando todos os lados dessa desigualdade por (que é sempre positivo), temos:
Isso significa que está sempre “esmagado” entre e .

Passo 3

Agora, precisamos calcular os limites de e quando se aproxima de 0. Sabemos que:
Ambos os limites são iguais a 0.

Passo 4

Com base no Teorema do Sanduíche, se uma função está sempre entre duas outras funções que têm o mesmo limite em um determinado ponto, então o limite da função intermediária também é esse mesmo valor. Aqui, está entre e , e ambos os limites laterais são 0. Portanto, concluímos que:

Resposta

O limite de quando se aproxima de 0 é igual a 0.

Exercícios relacionados

UFRPE
Universidade Federal Rural de Pernambuco
Unidade Acadêmica do Cabo de Santo Agostinho Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I - PLE 1 Professora: Camila Marques
Aluno:_Davi Alencar dos Santos

Atividade 1

  1. Calcule os seguintes limites:
    a)
    b)
    c)
  2. A função
é contínua? Justifique sua resposta.
3. Seja uma função que satisfaz que . Mostre que .
  1. (a)
    (1.)
    ©
unão é contínua, perque o limite é dubprente do volor da funcão.
, de accerdo amo a torema do contronto
Estudante: Davi Alencar dos Santos
Determine se a série é convergente ou divergente expressando como uma soma telescópica (como no Exemplo 7). Se for convergente, calcule sua soma.
A função
é contínua? Justifique sua resposta.
Exprima como função de : a área de um triângulo de base se sua altura é o dobro de sua base.