Determine se a série é convergente ou divergente expressando
como uma soma telescópica (soma em que os termos se cancelam aos pares, por exemplo, vimos que a série
é um exemplo de série telescópica). Se ela for convergente, calcule sua soma.
.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos que analisar a série infinita
e determinar se ela converge ou diverge. Para isso, vamos usar o conceito de série telescópica, que é uma série onde muitos termos se cancelam ao somarmos, facilitando encontrar a soma total se a série for convergente.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever os primeiros termos da série para ver como eles se comportam:
Simplificando:
Passo 3
Observamos que ao somar esses termos, alguns vão se cancelar. Por exemplo, o
do primeiro termo cancela com o
do terceiro termo. Isso é a característica de uma série telescópica: muitos termos internos se anulam, sobrando apenas os termos das extremidades.
Passo 4
Para generalizar, a soma parcial
dos primeiros
termos da série é:
Ao simplificar, percebemos que a maior parte dos termos internos se cancelam, restando:
Passo 5
Agora, vamos analisar o comportamento de
quando
tende ao infinito. Observamos que:
Portanto, ao substituir na expressão de
:
Resposta
A série
é convergente e sua soma é
.
Exercícios relacionados
Para a instalação mostrada na figura, determine:
a) As velocidades de sucção e recalque.
b) As pressões na entrada e na saída da bomba.
Dados: , dsuc
, drec
,
litros
.
a) As velocidades de sucção e recalque.
b) As pressões na entrada e na saída da bomba.
Dados:
A figura a seguir mostra parte de uma instalação de bombeamento de água. Considerando que a vazão é igual a 8 litros/s, que a tubulação possui o mesmo diâmetro ao longo de todo o seu comprimento e que os pontos (2) e (3) estão na mesma cota, determine a diferença de pressão entre a saída e a entrada da bomba. _ Dados: NB
, ph20
e
.
Determine se a série é convergente ou divergente. Se ela for convergente, calcule sua soma.
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Use o Teste da Integral para determinar se a série é convergente ou divergente.
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