Determine se a série é convergente ou divergente expressando
como uma soma telescópica (soma em que os termos se cancelam aos pares, por exemplo, vimos que a série
é um exemplo de série telescópica). Se ela for convergente, calcule sua soma.
.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos que analisar a série infinita
e determinar se ela converge ou diverge. Para isso, vamos usar o conceito de série telescópica, que é uma série onde muitos termos se cancelam ao somarmos, facilitando encontrar a soma total se a série for convergente.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever os primeiros termos da série para ver como eles se comportam:
Simplificando:
Passo 3
Observamos que ao somar esses termos, alguns vão se cancelar. Por exemplo, o
do primeiro termo cancela com o
do terceiro termo. Isso é a característica de uma série telescópica: muitos termos internos se anulam, sobrando apenas os termos das extremidades.
Passo 4
Para generalizar, a soma parcial
dos primeiros
termos da série é:
Ao simplificar, percebemos que a maior parte dos termos internos se cancelam, restando:
Passo 5
Agora, vamos analisar o comportamento de
quando
tende ao infinito. Observamos que:
Portanto, ao substituir na expressão de
:
Resposta
A série
é convergente e sua soma é
.