Determine se a série é convergente ou divergente expressando como uma soma telescópica (soma em que os termos se cancelam aos pares, por exemplo, vimos que a série é um exemplo de série telescópica). Se ela for convergente, calcule sua soma.
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Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos que analisar a série infinita e determinar se ela converge ou diverge. Para isso, vamos usar o conceito de série telescópica, que é uma série onde muitos termos se cancelam ao somarmos, facilitando encontrar a soma total se a série for convergente.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever os primeiros termos da série para ver como eles se comportam:
Simplificando:

Passo 3

Observamos que ao somar esses termos, alguns vão se cancelar. Por exemplo, o do primeiro termo cancela com o do terceiro termo. Isso é a característica de uma série telescópica: muitos termos internos se anulam, sobrando apenas os termos das extremidades.

Passo 4

Para generalizar, a soma parcial dos primeiros termos da série é:
Ao simplificar, percebemos que a maior parte dos termos internos se cancelam, restando:

Passo 5

Agora, vamos analisar o comportamento de quando tende ao infinito. Observamos que:
Portanto, ao substituir na expressão de :

Resposta

A série é convergente e sua soma é .

Exercícios relacionados

Para a instalação mostrada na figura, determine:
a) As velocidades de sucção e recalque.
b) As pressões na entrada e na saída da bomba.
Dados: , dsuc , drec , litros .
A figura a seguir mostra parte de uma instalação de bombeamento de água. Considerando que a vazão é igual a 8 litros/s, que a tubulação possui o mesmo diâmetro ao longo de todo o seu comprimento e que os pontos (2) e (3) estão na mesma cota, determine a diferença de pressão entre a saída e a entrada da bomba. _ Dados: NB , ph20 e .
Determine se a série é convergente ou divergente. Se ela for convergente, calcule sua soma.
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Use o Teste da Integral para determinar se a série é convergente ou divergente.
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