Determine se a série é convergente ou divergente expressando sn como uma soma telescópica (soma em que os termos se cancelam aos pares, por exemplo, vimos que a série sumi=1^infty 1n(n+1) é um exemplo de série telescópica). Se ela for convergente, calcule sua soma.
sumi=1^infty(1n+2-1n).

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos que analisar a série infinita e determinar se ela converge ou diverge. Para isso, vamos usar o conceito de série telescópica, que é uma série onde muitos termos se cancelam ao somarmos, facilitando encontrar a soma total se a série for convergente.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever os primeiros termos da série para ver como eles se comportam:
(11+2 - 11) + (12+2 - 12) + (13+2 - 13) + dots
Simplificando:
(13 - 1) + (14 - 12) + (15 - 13) + dots

Passo 3

Observamos que ao somar esses termos, alguns vão se cancelar. Por exemplo, o do primeiro termo cancela com o do terceiro termo. Isso é a característica de uma série telescópica: muitos termos internos se anulam, sobrando apenas os termos das extremidades.

Passo 4

Para generalizar, a soma parcial SN = (13 - 1) + (14 - 12) + dots + (1N+2 - 1N) dos primeiros SN = 1N+1 + 1N+2 - 1 - 12 termos da série é:
Ao simplificar, percebemos que a maior parte dos termos internos se cancelam, restando:

Passo 5

Agora, vamos analisar o comportamento de limN to infty 1N+1 = 0 e limN to infty 1N+2 = 0 quando limN to infty SN = 0 + 0 - 1 - 12 = -32 tende ao infinito. Observamos que:
Portanto, ao substituir na expressão de :

Resposta

A série é convergente e sua soma é .

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