Determine se a série convergente ou divergente.
f)
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente determinar se a série
é convergente ou divergente. Para isso, vamos precisar usar alguns conceitos de séries infinitas, especialmente os testes de convergência. Vamos analisar os termos da série e ver qual teste se aplica melhor.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da série para facilitar a análise. Observe que:
Então, a série fica:
Passo 3
Agora, vamos analisar o comportamento geral do termo
. Para determinar a convergência da série, podemos usar o Teste da Raiz, que é ótimo para séries com termos envolvendo potências de
.
O Teste da Raiz diz que:
Se
, a série converge; se
, diverge; e se
, o teste é inconclusivo.
Passo 4
Vamos calcular esse limite para nosso termo geral
:
Então, o limite fica:
Passo 5
Como o limite
é menor que 1, de acordo com o Teste da Raiz, a série
converge.
Passo 6
Lembrando que multiplicamos a série original por
, isso não afeta a convergência da série. Portanto, a série original
também converge.
Resposta
A série
é convergente.
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