Determine se a série convergente ou divergente.
f) sumn=1^infty 2^n-1 3^n+1n^n

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente determinar se a série é convergente ou divergente. Para isso, vamos precisar usar alguns conceitos de séries infinitas, especialmente os testes de convergência. Vamos analisar os termos da série e ver qual teste se aplica melhor.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da série para facilitar a análise. Observe que:
2^n-1 cdot 3^n+1n^n = 2^n cdot 2^-1 cdot 3^n cdot 3^1n^n = 2^n cdot 3^n cdot 32 cdot n^n = (2 cdot 3)^n cdot 32 cdot n^n = 6^n cdot 32 cdot n^n = 3 cdot 6^n2 cdot n^n
Então, a série fica:
sumn=1^infty 3 cdot 6^n2 cdot n^n = 32 sumn=1^infty 6^nn^n

Passo 3

Agora, vamos analisar o comportamento geral do termo limn to infty raiz[n]|an| = L . Para determinar a convergência da série, podemos usar o Teste da Raiz, que é ótimo para séries com termos envolvendo potências de .
O Teste da Raiz diz que:
Se , a série converge; se , diverge; e se , o teste é inconclusivo.

Passo 4

Vamos calcular esse limite para nosso termo geral raiz[n]an = raiz[n]6^nn^n = 6n :
limn to infty 6n = 0
Então, o limite fica:

Passo 5

Como o limite é menor que 1, de acordo com o Teste da Raiz, a série converge.

Passo 6

Lembrando que multiplicamos a série original por , isso não afeta a convergência da série. Portanto, a série original também converge.

Resposta

A série é convergente.

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