Determine se a série convergente ou divergente.
f)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente determinar se a série é convergente ou divergente. Para isso, vamos precisar usar alguns conceitos de séries infinitas, especialmente os testes de convergência. Vamos analisar os termos da série e ver qual teste se aplica melhor.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da série para facilitar a análise. Observe que:
Então, a série fica:

Passo 3

Agora, vamos analisar o comportamento geral do termo . Para determinar a convergência da série, podemos usar o Teste da Raiz, que é ótimo para séries com termos envolvendo potências de .
O Teste da Raiz diz que:
Se , a série converge; se , diverge; e se , o teste é inconclusivo.

Passo 4

Vamos calcular esse limite para nosso termo geral :
Então, o limite fica:

Passo 5

Como o limite é menor que 1, de acordo com o Teste da Raiz, a série converge.

Passo 6

Lembrando que multiplicamos a série original por , isso não afeta a convergência da série. Portanto, a série original também converge.

Resposta

A série é convergente.

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