Determine se a série convergente ou divergente.
i) sumn=1^infty 1+2^k3^k

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente determinar se a série sumk=1^infty 1+2^k3^k converge ou diverge. Vamos usar conhecimentos de séries infinitas, especialmente o Teste da Série Geométrica, que é ótimo para esse tipo de problema.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na expressão da série: 1 + 2^k3^k. Podemos separar essa fração em duas partes: 13^k e 2^k3^k. Assim, a série fica:
sumk=1^infty ( 13^k + 2^k3^k )

Passo 3

Agora, vamos analisar cada uma dessas séries separadamente usando o Teste da Série Geométrica, que diz que uma série sumk=1^infty ar^k converge se o valor absoluto da razão |r| for menor que 1, ou seja, |r| < 1.
Para a primeira parte, sumk=1^infty 13^k, temos uma série geométrica onde a = 13 e r = 13. Como |13| < 1, essa série converge.
Para a segunda parte, sumk=1^infty 2^k3^k, podemos reescrever como sumk=1^infty ( 23 )^k. Aqui, a razão r = 23. Novamente, como |23| < 1, essa série também converge.

Passo 4

Como ambas as séries que compõem a nossa série original convergem, a soma delas também converge. Além disso, se quisermos o valor da soma, podemos calcular:
Para sumk=1^infty 13^k:
S = 131 - 13 = 1323 = 12
Para sumk=1^infty ( 23 )^k:
S = 231 - 23 = 2313 = 2
Então, a soma total é 12 + 2 = 52.

Resposta

A série sumk=1^infty 1+2^k3^k é convergente e sua soma é 52.

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