Determine se a série convergente ou divergente.
i)
i)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente determinar se a série
converge ou diverge. Vamos usar conhecimentos de séries infinitas, especialmente o Teste da Série Geométrica, que é ótimo para esse tipo de problema.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na expressão da série:
. Podemos separar essa fração em duas partes:
e
. Assim, a série fica:
Passo 3
Agora, vamos analisar cada uma dessas séries separadamente usando o Teste da Série Geométrica, que diz que uma série
converge se o valor absoluto da razão
for menor que 1, ou seja,
.
Para a primeira parte,
, temos uma série geométrica onde
e
. Como
, essa série converge.
Para a segunda parte,
, podemos reescrever como
. Aqui, a razão
. Novamente, como
, essa série também converge.
Passo 4
Como ambas as séries que compõem a nossa série original convergem, a soma delas também converge. Além disso, se quisermos o valor da soma, podemos calcular:
Para
:
Para
:
Então, a soma total é
.
Resposta
A série
é convergente e sua soma é
.
Exercícios relacionados
Determine se a série convergente ou divergente.
f)
f)
Determine se a série convergente ou divergente.
a)
a)
Determine se a série convergente ou divergente.
d)
d)
Determine se a série convergente ou divergente.
c)
c)