Determine se a série convergente ou divergente.
i)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente determinar se a série converge ou diverge. Vamos usar conhecimentos de séries infinitas, especialmente o Teste da Série Geométrica, que é ótimo para esse tipo de problema.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na expressão da série: . Podemos separar essa fração em duas partes: e . Assim, a série fica:

Passo 3

Agora, vamos analisar cada uma dessas séries separadamente usando o Teste da Série Geométrica, que diz que uma série converge se o valor absoluto da razão for menor que 1, ou seja, .
Para a primeira parte, , temos uma série geométrica onde e . Como , essa série converge.
Para a segunda parte, , podemos reescrever como . Aqui, a razão . Novamente, como , essa série também converge.

Passo 4

Como ambas as séries que compõem a nossa série original convergem, a soma delas também converge. Além disso, se quisermos o valor da soma, podemos calcular:
Para :
Para :
Então, a soma total é .

Resposta

A série é convergente e sua soma é .

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