Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma. 1/4 + 2/4 + 2^(k-1)/4 + ...

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, também precisamos calcular a soma dela. Vamos usar o conteúdo de progressões geométricas para resolver isso. Precisamos identificar a razão da progressão e verificar os critérios de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a série de forma mais geral. Observando os termos, vemos que cada termo pode ser escrito como . Podemos simplificar isso:
Isso mostra que a série é uma progressão geométrica onde cada termo é obtido multiplicando o anterior por uma razão constante.

Passo 3

Vamos identificar a razão ( r) da progressão geométrica. Observando os termos:
Então, a razão .

Passo 4

Agora, sabemos que uma progressão geométrica infinita converge se o valor absoluto da razão for menor que 1, ou seja, . Se |r| >= 1, a série diverge.
No nosso caso, , e como , a série diverge.

Resposta

A série é divergente.

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