Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar se a série
é convergente ou divergente. Se for convergente, também precisamos calcular a soma dela. Vamos usar o conteúdo de progressões geométricas para resolver isso. Precisamos identificar a razão da progressão e verificar os critérios de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a série de forma mais geral. Observando os termos, vemos que cada termo pode ser escrito como
. Podemos simplificar isso:
Isso mostra que a série é uma progressão geométrica onde cada termo é obtido multiplicando o anterior por uma razão constante.
Passo 3
Vamos identificar a razão (
) da progressão geométrica. Observando os termos:
Então, a razão
.
Passo 4
Agora, sabemos que uma progressão geométrica infinita converge se o valor absoluto da razão for menor que 1, ou seja,
. Se
, a série diverge.
No nosso caso,
, e como
, a série diverge.
Resposta
A série
é divergente.
Exercícios relacionados
Resolva em
as seguintes equações
h)
h)
Encontre a derivada direcional de
em
na direção que aponta para a origem.
( 0,5 ponto) Considere uma PG com primeiro termo 4 e razão
. Calcule
quarto e
trigésimo termo desta PG. Quanto é a soma desta PG infinita?
Seja
e
.
Encontre a taxa de variação de na direção de
.
Encontre a taxa de variação de