Encontre a derivada direcional de em na direção que aponta para a origem.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função e queremos encontrar a derivada direcional dessa função no ponto na direção que aponta para a origem. Isso envolve conceitos de cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e vetores de direção.

Passo 2

Para encontrar a derivada direcional, precisamos do vetor gradiente da função no ponto . O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de em relação a e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de :
Então, o vetor gradiente é:

Passo 4

No ponto , o gradiente fica:

Passo 5

Agora, precisamos do vetor de direção que aponta para a origem a partir de . A origem é , então o vetor que vai de para a origem é:
Para usar esse vetor na derivada direcional, ele precisa ser um vetor unitário (de comprimento 1). Vamos normalizar .

Passo 6

Calculamos o comprimento de :
Então, o vetor unitário na direção de é:

Passo 7

A derivada direcional é o produto escalar do gradiente de no ponto com o vetor unitário :

Passo 8

Calculando o produto escalar:
Podemos racionalizar o denominador, se preferir:

Resposta

A derivada direcional de em na direção que aponta para a origem é ou .

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