Encontre a derivada direcional de
em
na direção que aponta para a origem.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função
e queremos encontrar a derivada direcional dessa função no ponto
na direção que aponta para a origem. Isso envolve conceitos de cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e vetores de direção.
Passo 2
Para encontrar a derivada direcional, precisamos do vetor gradiente da função
no ponto
. O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de
em relação a
e
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de
:
Então, o vetor gradiente
é:
Passo 4
No ponto
, o gradiente fica:
Passo 5
Agora, precisamos do vetor de direção que aponta para a origem a partir de
. A origem é
, então o vetor que vai de
para a origem é:
Para usar esse vetor na derivada direcional, ele precisa ser um vetor unitário (de comprimento 1). Vamos normalizar
.
Passo 6
Calculamos o comprimento de
:
Então, o vetor unitário na direção de
é:
Passo 7
A derivada direcional
é o produto escalar do gradiente de
no ponto
com o vetor unitário
:
Passo 8
Calculando o produto escalar:
Podemos racionalizar o denominador, se preferir:
Resposta
A derivada direcional de
em
na direção que aponta para a origem é
ou
.