Seja
e
.
Encontre a taxa de variação de
na direção de
.
Encontre a taxa de variação de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema nos dá uma função de duas variáveis,
, e um ponto
. A gente precisa encontrar a taxa de variação de
na direção do gradiente
nesse ponto.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o gradiente de uma função e como calcular a taxa de variação na direção desse gradiente. Então, vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função e é composto pelas derivadas parciais da função em relação a cada variável.
Para
, temos:
Vamos calcular cada derivada parcial.
Passo 3
Calculando a derivada parcial de
em relação a
:
Aqui, usamos a regra do produto e a regra da cadeia:
Passo 4
Agora, calculando a derivada parcial de
em relação a
:
Aqui,
é tratado como uma constante, então:
Passo 5
Então, o gradiente da função
é:
Passo 6
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto
:
Primeiro, calculamos
em
:
Então,
.
Substituindo na expressão do gradiente:
Passo 7
A taxa de variação de
na direção de
é conhecida como derivada direcional nessa direção. Quando a direção é o próprio gradiente, a derivada direcional é igual ao módulo do gradiente.
Então, vamos calcular o módulo de
:
Resposta
A taxa de variação de
na direção de
é
.
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a) e
, então
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