Seja e .
Encontre a taxa de variação de na direção de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema nos dá uma função de duas variáveis, , e um ponto . A gente precisa encontrar a taxa de variação de na direção do gradiente nesse ponto.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o gradiente de uma função e como calcular a taxa de variação na direção desse gradiente. Então, vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função . O gradiente é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função e é composto pelas derivadas parciais da função em relação a cada variável.
Para , temos:
Vamos calcular cada derivada parcial.

Passo 3

Calculando a derivada parcial de em relação a :
Aqui, usamos a regra do produto e a regra da cadeia:

Passo 4

Agora, calculando a derivada parcial de em relação a :
Aqui, é tratado como uma constante, então:

Passo 5

Então, o gradiente da função é:

Passo 6

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto :
Primeiro, calculamos em :
Então, .
Substituindo na expressão do gradiente:

Passo 7

A taxa de variação de na direção de é conhecida como derivada direcional nessa direção. Quando a direção é o próprio gradiente, a derivada direcional é igual ao módulo do gradiente.
Então, vamos calcular o módulo de :

Resposta

A taxa de variação de na direção de é .

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