Determine se a série é convergente ou divergente. Se ela for convergente, calcule sua soma.
Passo 1
Vamos dar uma olhada na questão: precisamos determinar se a série
é convergente ou divergente. Se for convergente, também queremos calcular a sua soma. Para resolver isso, vamos utilizar o conteúdo de séries geométricas, que é uma parte da matemática que estuda somas de termos que seguem uma mesma regra de multiplicação.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar se a nossa série é uma série geométrica. Uma série geométrica tem a forma:
onde:
é o primeiro termo da série,
é a razão comum entre os termos.
Na nossa série,
Podemos notar que cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma constante. Vamos descobrir qual é essa constante.
Passo 3
Vamos calcular a razão entre o segundo termo e o primeiro termo para encontrar a razão comum:
Então, a razão comum é .
Passo 4
Agora que identificamos que a série é geométrica com e , vamos verificar se a série converge ou diverge. Uma série geométrica converge se o valor absoluto da razão for menor que 1, ou seja, se .
No nosso caso:
Portanto, a série é convergente.
Passo 5
Como a série é convergente, podemos calcular a soma dela utilizando a fórmula da soma de uma série geométrica infinita: