Expresse o número como uma razão de inteiros.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente transformar o número decimal periódico em uma fração de inteiros. Isso envolve conceitos de números decimais periódicos e álgebra básica. Para resolver, vamos precisar entender como converter uma parte que se repete em uma fração simples.

Passo 2

Primeiro, vamos chamar o número que queremos descobrir de . Ou seja:
Isso significa que

Passo 3

Observamos que a parte que está repetindo é “567”, que tem 3 dígitos. Para eliminar essa repetição, vamos multiplicar por , já que assim o bloco que se repete vai alinhar.

Passo 4

Agora, temos duas equações:
Se subtrairmos a primeira equação da segunda, conseguimos eliminar a parte periódica.

Passo 5

Fazendo a subtração:

Passo 6

Calculando a diferença:
Então:

Passo 7

Agora, isolamos dividindo ambos os lados por 999:

Passo 8

Essa fração pode ser simplificada dividindo o numerador e o denominador pelo maior divisor comum. Vamos verificar se 999 e 10,!224,!333 têm algum divisor comum além de 1.
Após simplificar, encontramos que a fração não pode ser reduzida mais.

Resposta

Portanto, o número como razão de inteiros é:

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Derive de forma implícita para encontrar .
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O tempo, em minutos, que um medicamento leva para fazer efeito em uma pessoa é dado pela funçāo: Considere que é a idade e é o tempo em minutos. Em um paciente que possui 30 anos, o tempo necessário para que esse remédio faça efeito é de: (Use .) A) 2 minutos e 70 segundos. B) 2 minutos e 42 segundos. C) 3 minutos e 26 segundos, D) 5 minutos. E) 7 minutos e 30 segundos.