Determine se a série é convergente ou divergente.
Passo 1
Vamos lá! O enunciado pede para determinar se a série
é convergente ou divergente. Estamos lidando com séries numéricas, e para resolver isso, vamos precisar entender sobre séries geométricas e o Teste da Comparação.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar os termos da série:
. Sabemos que
(seno de n) oscila entre -1 e 1 para qualquer valor de n. Assim, o numerador
varia entre 0 e 2.
Passo 3
Como o denominador é
, que cresce exponencialmente, temos que cada termo da série é sempre não negativo e menor ou igual a
. Ou seja:
Passo 4
Agora, vamos comparar nossa série com a série
. Essa é uma série geométrica com razão
, que é menor que 1. Sabemos que séries geométricas com
sempre convergem.
Passo 5
Como cada termo da nossa série original é menor ou igual aos termos da série geométrica convergente
, podemos aplicar o Teste da Comparação. Esse teste nos diz que se uma série maior converge, a série menor também converge.
Passo 6
Portanto, pela comparação, concluímos que a série
converge.
Resposta
A série
é convergente.
Exercícios relacionados
Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule seu valor.
Para o cálculo de uma viga o engenheiro precisa do valor dpo momento fletor. Na viga abaixo tem-se
e
. Estude continuidade em
conforme dados abaixo. Esboce o gráfico da momento fletor da viga.
Figura 1: Questão 07
Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.
29.
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Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.
39.
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