Determine se a série é convergente ou divergente.
sumn=1^infty 1+sen n10^n

Passo 1

Vamos lá! O enunciado pede para determinar se a série sumn=1^infty 1+sen n10^n é convergente ou divergente. Estamos lidando com séries numéricas, e para resolver isso, vamos precisar entender sobre séries geométricas e o Teste da Comparação.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar os termos da série: 1+sen n10^n. Sabemos que sen n (seno de n) oscila entre -1 e 1 para qualquer valor de n. Assim, o numerador 1 + sen n varia entre 0 e 2.

Passo 3

Como o denominador é 10^n, que cresce exponencialmente, temos que cada termo da série é sempre não negativo e menor ou igual a 210^n. Ou seja:
0 <= 1+sen n10^n <= 210^n

Passo 4

Agora, vamos comparar nossa série com a série sumn=1^infty 210^n. Essa é uma série geométrica com razão r = 110, que é menor que 1. Sabemos que séries geométricas com |r| < 1 sempre convergem.

Passo 5

Como cada termo da nossa série original é menor ou igual aos termos da série geométrica convergente sumn=1^infty 210^n, podemos aplicar o Teste da Comparação. Esse teste nos diz que se uma série maior converge, a série menor também converge.

Passo 6

Portanto, pela comparação, concluímos que a série sumn=1^infty 1+sen n10^n converge.

Resposta

A série sumn=1^infty 1+sen n10^n é convergente.

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