Determine se a série é convergente ou divergente.

Passo 1

Vamos lá! O enunciado pede para determinar se a série é convergente ou divergente. Estamos lidando com séries numéricas, e para resolver isso, vamos precisar entender sobre séries geométricas e o Teste da Comparação.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar os termos da série: . Sabemos que (seno de n) oscila entre -1 e 1 para qualquer valor de n. Assim, o numerador varia entre 0 e 2.

Passo 3

Como o denominador é , que cresce exponencialmente, temos que cada termo da série é sempre não negativo e menor ou igual a . Ou seja:

Passo 4

Agora, vamos comparar nossa série com a série . Essa é uma série geométrica com razão , que é menor que 1. Sabemos que séries geométricas com sempre convergem.

Passo 5

Como cada termo da nossa série original é menor ou igual aos termos da série geométrica convergente , podemos aplicar o Teste da Comparação. Esse teste nos diz que se uma série maior converge, a série menor também converge.

Passo 6

Portanto, pela comparação, concluímos que a série converge.

Resposta

A série é convergente.

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