Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.
b) sumn=1^+infty n(n+2)(n+2)^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que verificar se a série infinita converge ou diverge. Para isso, vamos usar conceitos de séries infinitas e testar a convergência usando alguns critérios básicos de matemática.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da série para ficar mais fácil de trabalhar. Observando n(n+2)(n+2)^2 = nn+2 , podemos cancelar um sumn=1^+infty nn+2 no numerador e denominador:
Então, a série fica:

Passo 3

Agora, vamos analisar o comportamento dos termos nn+2 = 11 + 2n quando limn to +infty nn+2 = 11 + 0 = 1 fica muito grande, ou seja, quando . Dividindo tanto o numerador quanto o denominador por , temos:
Quando cresce sem limites, tende a zero, então:

Passo 4

Com esse resultado, aplicamos o Teste da Divergência, que diz que se o limite do termo geral limn to +infty nn+2 = 1 neq 0 quando não for zero, a série diverge.
Como vimos que:

Resposta

Portanto, a série diverge.

Exercícios relacionados

Calcule:
(b) (2/9) * raiz((3*x - 2)^3) + k
Determine se a série geométrica é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.
f) sumn=1^+infty pi^n3^n+1
Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.
h) sumn=0^+infty(pi3)^n
Utilize o Teste da Razão para verificar a convergência ou divergência das séries:
f) sumn=1^+infty (-1)^n+1 n^2 2^nn!