Utilize o Teste da Razão para verificar a convergência ou divergência das séries:
f) sumn=1^+infty (-1)^n+1 n^2 2^nn!

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que analisar a série:
sumn=1^+infty (-1)^n+1 n^2 2^nn!
Vamos usar o Teste da Razão para descobrir se essa série converge ou diverge. O Teste da Razão é uma técnica que ajuda a entender o comportamento de séries com termos que têm fatoriais ou exponenciais. Basicamente, a gente olha para o limite de quando tende ao infinito. Se esse limite for menor que 1, a série converge; se for maior que 1, diverge; e se for igual a 1, o teste não dá resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o termo geral da série, que é:
an = (-1)^n+1 n^2 2^nn!
Para aplicar o Teste da Razão, precisamos calcular . A gente ignora o sinal alternante porque estamos lidando com valores absolutos.

Passo 3

Vamos calcular an+1an = (-1)^(n+1)+1 (n+1)^2 2^n+1(n+1)! times n!(-1)^n+1 n^2 2^n :
Simplificando os sinais e os termos:

Passo 4

Agora, vamos simplificar a expressão:
2(n+1)n^2 = 2n + 2n^2 = 2n + 2n^2
Quando limn to infty | an+1an | = 0 tende ao infinito, tanto quanto tendem a 0. Então:

Passo 5

Segundo o Teste da Razão, se o limite é menor que 1, a série converge absolutamente. No nosso caso, .

Resposta

A série sumn=1^+infty (-1)^n+1 n^2 2^nn! converge absolutamente pelo Teste da Razão.

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(m) 1/8 ln(1+4 x²) + k
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