Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma:
d)
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos a série infinita:
Queremos descobrir se essa série é convergente ou divergente. Se for convergente, também iremos calcular sua soma. Para isso, vamos utilizar o conceito de série geométrica.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da série para identificar melhor seu comportamento. Observamos que:
Assim, a série pode ser reescrita como:
Passo 3
Agora, percebemos que essa é uma série geométrica. Uma série geométrica tem a forma geral:
Onde:
é o primeiro termo da série.
é a razão comum entre os termos consecutivos.
No nosso caso:
Passo 4
Para saber se a série geométrica converge ou diverge, usamos o critério da razão. Esse critério diz que:
Se , a série converge.
Se , a série diverge.
Vamos aplicar esse critério à nossa série.
Passo 5
Calculamos o valor absoluto da razão :
Como , temos que .
Passo 6
De acordo com o critério da razão, como , a série diverge. Isso significa que a soma dos termos da série não se aproxima de um valor finito conforme cresce.