Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma:
d) sumn=1^infty pi^n3^n+1

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos a série infinita:
sumn=1^infty pi^n3^n+1
Queremos descobrir se essa série é convergente ou divergente. Se for convergente, também iremos calcular sua soma. Para isso, vamos utilizar o conceito de série geométrica.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da série para identificar melhor seu comportamento. Observamos que:
pi^n3^n+1 = 13 cdot (pi3)^n
Assim, a série pode ser reescrita como:
sumn=1^infty 13 cdot (pi3)^n

Passo 3

Agora, percebemos que essa é uma série geométrica. Uma série geométrica tem a forma geral:
sumn=0^infty ar^n
Onde:
  • é o primeiro termo da série.
  • é a razão comum entre os termos consecutivos.
No nosso caso:

Passo 4

Para saber se a série geométrica converge ou diverge, usamos o critério da razão. Esse critério diz que:
  • Se , a série converge.
  • Se , a série diverge.
Vamos aplicar esse critério à nossa série.

Passo 5

Calculamos o valor absoluto da razão |r| = |pi3| approx 3,14163 approx 1,0472 :
Como , temos que .

Passo 6

De acordo com o critério da razão, como , a série diverge. Isso significa que a soma dos termos da série não se aproxima de um valor finito conforme cresce.

Resposta

A série
sumn=1^infty pi^n3^n+1
é divergente.

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