Expresse a dízima periódica decimal como uma fração ordinária.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para transformar a dízima periódica decimal
em uma fração comum. Isso envolve entender um pouco sobre como as dízimas periódicas funcionam e como podemos manipulá-las matematicamente para chegar à resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos representar a dízima periódica por uma variável para facilitar os cálculos. Vamos chamar essa dízima de
:
Aqui, o “234” se repete infinitamente. O próximo passo é eliminar essa parte periódica para conseguir isolar
.
Passo 3
Como o período que se repete tem três dígitos (“234”), vamos multiplicar
por 1000 (que é
) para deslocar a vírgula três casas à direita:
Agora, temos duas equações:
Passo 4
Vamos subtrair a primeira equação da segunda para eliminar a parte decimal repetitiva:
Isso simplifica para:
Passo 5
Agora, basta resolver para
:
Passo 6
Esse resultado ainda pode ser simplificado. Vamos simplificar a fração dividindo o numerador e o denominador pelo maior divisor comum, que é 9:
Resposta
A dízima periódica
pode ser expressa como a fração
.
Exercícios relacionados
Mostre que
Seja
e
.
Encontre a taxa de variação de na direção de um vetor que forma um ângulo de
.
Encontre a taxa de variação de
A temperatura (em graus Celsius) em um ponto
em uma placa de metal no plano
é
Determine a taxa de variação da temperatura em
na direção de
.
Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.