Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.
sumn=1^infty pi^n3^n+1

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos uma série infinita:
sumn=1^infty pi^n3^n+1
E precisamos determinar se essa série é convergente ou divergente. Se for convergente, também vamos calcular a soma dela. Para resolver isso, vamos utilizar o conceito de séries geométricas.

Passo 2

Vamos reescrever a expressão geral da série para identificar melhor a razão geométrica. Observando o termo geral:
pi^n3^n+1 = 13 ( pi3 )^n
Isso mostra que a série é uma série geométrica da forma:
sumn=1^infty a cdot r^n
Onde:
  • é o primeiro termo da série.
  • é a razão geométrica.

Passo 3

Para uma série geométrica, sabemos que ela converge se o valor absoluto da razão r = pi3 approx 3,14163 approx 1,0472 for menor que 1, ou seja, se . Vamos verificar isso:
Aqui, , que é maior que 1. Portanto, a condição para a convergência da série não é atendida.

Resposta

A série é divergente.

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