Prove que a função dada é continua no conjunto dado.

Passo 1

Beleza, então temos o seguinte exercício: Precisamos provar que a função é contínua para todo número real no conjunto . Vamos usar conceitos de séries de potências e continuidade de funções para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função . Ela é definida como uma soma infinita de termos da forma . Essa é uma série de potências, que é uma série onde cada termo é uma potência de multiplicada por algum coeficiente.

Passo 3

Para provar que é contínua em , precisamos mostrar que a série converge para todo real e que a soma da série é uma função contínua. Uma maneira de fazer isso é utilizando o raio de convergência da série de potências.

Passo 4

Vamos calcular o raio de convergência usando o critério da razão. Para a série , onde , temos:

Passo 5

Como o raio de convergência , isso significa que a série converge para todo real. Ou seja, a função está bem definida em todo .

Passo 6

Além disso, séries de potências com raio de convergência infinito são contínuas em todo o seu domínio. Isso ocorre porque a convergência é uniforme em cada intervalo finito, garantindo a continuidade da soma da série.

Passo 7

Portanto, concluímos que a função é contínua para todo em .

Resposta

A função é contínua para todo real no conjunto .

Exercícios relacionados

Expresse a função na forma
Encontre as funções (a) , (b) , © e (d) e seus domínios.
Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.
Encontre (a) , (b) , © e (d) e defina seus domínios.
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