Prove que a função dada é continua no conjunto B dado.
f(x)=sumn=0^+infty 2^pi x^nn!, B=R

Passo 1

Beleza, então temos o seguinte exercício: Precisamos provar que a função é contínua para todo número real no conjunto . Vamos usar conceitos de séries de potências e continuidade de funções para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função . Ela é definida como uma soma infinita de termos da forma . Essa é uma série de potências, que é uma série onde cada termo é uma potência de multiplicada por algum coeficiente.

Passo 3

Para provar que é contínua em , precisamos mostrar que a série converge para todo real e que a soma da série é uma função contínua. Uma maneira de fazer isso é utilizando o raio de convergência da série de potências.

Passo 4

Vamos calcular o raio de convergência R = limn to infty | anan+1 | = limn to infty | 2^pin!2^pi(n+1)! | = limn to infty (n+1) = +infty usando o critério da razão. Para a série , onde , temos:

Passo 5

Como o raio de convergência , isso significa que a série converge para todo real. Ou seja, a função está bem definida em todo .

Passo 6

Além disso, séries de potências com raio de convergência infinito são contínuas em todo o seu domínio. Isso ocorre porque a convergência é uniforme em cada intervalo finito, garantindo a continuidade da soma da série.

Passo 7

Portanto, concluímos que a função é contínua para todo em .

Resposta

A função é contínua para todo real no conjunto .

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