Prove que a função dada é continua no conjunto dado.
Passo 1
Beleza, então temos o seguinte exercício: Precisamos provar que a função é contínua para todo número real no conjunto . Vamos usar conceitos de séries de potências e continuidade de funções para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a função . Ela é definida como uma soma infinita de termos da forma . Essa é uma série de potências, que é uma série onde cada termo é uma potência de multiplicada por algum coeficiente.
Passo 3
Para provar que é contínua em , precisamos mostrar que a série converge para todo real e que a soma da série é uma função contínua. Uma maneira de fazer isso é utilizando o raio de convergência da série de potências.
Passo 4
Vamos calcular o raio de convergência usando o critério da razão. Para a série , onde , temos:
Passo 5
Como o raio de convergência , isso significa que a série converge para todo real. Ou seja, a função está bem definida em todo .
Passo 6
Além disso, séries de potências com raio de convergência infinito são contínuas em todo o seu domínio. Isso ocorre porque a convergência é uniforme em cada intervalo finito, garantindo a continuidade da soma da série.
Passo 7
Portanto, concluímos que a função é contínua para todo em .