Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule a sua soma: sumn=1^infty pi^n3^n+1

Passo 1

Então, você quer descobrir se a série converge ou diverge. Se convergir, também vamos calcular a soma dela. Vamos usar conceitos de séries geométricas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma série geométrica tem a forma , onde é o primeiro termo e é a razão. Essa série converge se o valor absoluto de for menor que 1 ( ) e, quando converge, a soma é .

Passo 3

Vamos reescrever a nossa série para deixá-la parecida com uma série geométrica. Observe que:
sumn=1^infty pi^n3^n+1 = 13 sumn=1^infty (pi3)^n
Aqui, é um fator constante fora da série geométrica, e é a parte geométrica com .

Passo 4

Agora, vamos verificar se a série geométrica |pi3| approx 3,14163 approx 1,0472 converge. Para isso, precisamos ver se :
Como , temos que .

Passo 5

Como , a série geométrica diverge. Multiplicar por não altera a convergência da série.

Resposta

A série diverge.

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