Determine se a série dada é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.

Passo 1

Vamos analisar o exercício que você me enviou. Temos que determinar se a série
é convergente ou divergente. Se for convergente, também calcularemos sua soma. Para isso, vamos precisar entender sobre séries geométricas e os testes de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão geral da série para facilitar a análise. Observe que:
Portanto, a série pode ser reescrita como:

Passo 3

Agora, identificamos que a série é uma série geométrica, que tem a forma geral:
onde:
  • é o primeiro termo,
  • é a razão da série.
No nosso caso, a série começa em , mas podemos ajustar isso. A nossa série é:

Passo 4

Para determinar a convergência de uma série geométrica, analisamos o valor de . A série converge se e somente se:
No nosso caso, a razão é:
Como , a série não converge.

Resposta

A série é divergente.

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Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule a sua soma:
Encontre os números reais e tais que , para todo diferente de 0 e de 1.
Determine se a série dada é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.
Encontre os valores de para os quais a série converge. Calcule a soma da série para aqueles valores de .