Determine se a série dada é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.
Passo 1
Vamos analisar o exercício que você me enviou. Temos que determinar se a série
é convergente ou divergente. Se for convergente, também calcularemos sua soma. Para isso, vamos precisar entender sobre séries geométricas e os testes de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão geral da série para facilitar a análise. Observe que:
Portanto, a série pode ser reescrita como:
Passo 3
Agora, identificamos que a série é uma série geométrica, que tem a forma geral:
onde:
-
é o primeiro termo, -
é a razão da série.
No nosso caso, a série começa em
, mas podemos ajustar isso. A nossa série é:
Passo 4
Para determinar a convergência de uma série geométrica, analisamos o valor de
. A série converge se e somente se:
No nosso caso, a razão é:
Como
, a série não converge.
Resposta
A série
é divergente.