Determine se a série dada é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.
sumn=1^infty 3^-n cdot 8^n+1

Passo 1

Vamos analisar o exercício que você me enviou. Temos que determinar se a série
sumn=1^infty 3^-n cdot 8^n+1
é convergente ou divergente. Se for convergente, também calcularemos sua soma. Para isso, vamos precisar entender sobre séries geométricas e os testes de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão geral da série para facilitar a análise. Observe que:
3^-n cdot 8^n+1 = 3^-n cdot 8 cdot 8^n = 8 cdot ( 83 )^n
Portanto, a série pode ser reescrita como:
8 cdot sumn=1^infty ( 83 )^n

Passo 3

Agora, identificamos que a série é uma série geométrica, que tem a forma geral:
sumn=0^infty ar^n
onde:
  • 8 cdot sumn=1^infty ( 83 )^n = 8 cdot ( sumn=0^infty ( 83 )^n - 1 ) é o primeiro termo,
  • é a razão da série.
No nosso caso, a série começa em , mas podemos ajustar isso. A nossa série é:

Passo 4

Para determinar a convergência de uma série geométrica, analisamos o valor de |r| < 1 . A série converge se e somente se:
r = 83 approx 2,666
No nosso caso, a razão é:
Como , a série não converge.

Resposta

A série é divergente.

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