Determine se a série dada é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.
Passo 1
Vamos analisar o exercício que você me enviou. Temos que determinar se a série
é convergente ou divergente. Se for convergente, também calcularemos sua soma. Para isso, vamos precisar entender sobre séries geométricas e os testes de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão geral da série para facilitar a análise. Observe que:
Portanto, a série pode ser reescrita como:
Passo 3
Agora, identificamos que a série é uma série geométrica, que tem a forma geral:
onde:
-
é o primeiro termo, -
é a razão da série.
No nosso caso, a série começa em
, mas podemos ajustar isso. A nossa série é:
Passo 4
Para determinar a convergência de uma série geométrica, analisamos o valor de
. A série converge se e somente se:
No nosso caso, a razão é:
Como
, a série não converge.
Resposta
A série
é divergente.
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Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule a sua soma:
Encontre os números reais
e
tais que
, para todo
diferente de 0 e de 1.
Determine se a série dada é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.
Encontre os valores de
para os quais a série converge. Calcule a soma da série para aqueles valores de
.