Determine se a série dada é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.
sumn=1^infty ln (n2 n+5)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para analisar se a série converge ou diverge. Esse exercício está na área de Séries Infinita e vamos precisar usar alguns Testes de Convergência para resolver, especificamente o Teste da Divergência.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o Teste da Divergência. Esse teste diz que se o limite do termo geral da série não for zero, a série diverge. Ou seja, se an = ln (n2n + 5) , então a série n2n + 5 = 12 + 5n não converge.
Agora, vamos calcular o limite do termo geral da nossa série:
limn to infty n2n + 5 = 12
Para encontrar limn to infty ln (n2n + 5) = ln (12) = -ln(2) , simplificamos a fração dentro do logaritmo:
Quando tende ao infinito, tende a zero, então:
Agora, aplicamos o logaritmo:
Sabemos que é aproximadamente , que não é zero.

Resposta

Como o limite do termo geral não é zero ( ), a série é divergente.

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