Encontre os números reais
e
tais que
, para todo
diferente de 0 e de 1.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar os números reais
e
que fazem a igualdade
valer para todo
que não seja 0 nem 1. Isso é uma questão de frações parciais, onde a gente quer decompor uma fração complexa em frações mais simples.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação para achar uma relação entre
e
. Para isso, vamos multiplicar ambos os lados da igualdade por
para eliminar os denominadores:
Passo 3
Agora, vamos distribuir o
na expressão:
Juntando os termos que têm
:
Passo 4
Para que essa igualdade seja válida para todo
, os coeficientes dos termos com
e os termos constantes devem ser iguais nos dois lados da equação. Então, temos:
Passo 5
Vamos resolver o sistema de equações:
- De
, temos que . - Substituindo
na primeira equação :
Resposta
Os números reais são
e
.