Encontre os números reais A e B tais que 3/n(n-1) = A/n + B/(n-1), para todo n diferente de 0 e de 1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar os números reais e que fazem a igualdade valer para todo que não seja 0 nem 1. Isso é uma questão de frações parciais, onde a gente quer decompor uma fração complexa em frações mais simples.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação para achar uma relação entre e . Para isso, vamos multiplicar ambos os lados da igualdade por para eliminar os denominadores:

Passo 3

Agora, vamos distribuir o na expressão:
Juntando os termos que têm :

Passo 4

Para que essa igualdade seja válida para todo , os coeficientes dos termos com e os termos constantes devem ser iguais nos dois lados da equação. Então, temos:

Passo 5

Vamos resolver o sistema de equações:
  1. De , temos que .
  2. Substituindo na primeira equação :

Resposta

Os números reais são e .

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Utilize o teste da série alternada para decidir a convergência ou divergência da serie dada.
<html><head></head><body><div>Utilize o teste da série alternada para decidir a convergência ou divergência da serie dada.<br>
<span class="math-inline ">
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.816ex;” xmlns=“
http://www.w3.org/2000/svg” width=“27.057ex” height=“2.79ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -872.7 11959.1 1233.3”><title>4/7 - 4/8 + 4/9 - 4/10 + 4/11 - …</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mfrac”><g data-mml-node=“mn” transform=“translate(220,394) scale(0.707)”><path data-c=“34” d=“M462 0Q444 3 333 3Q217 3 199 0H190V46H221Q241 46 248 46T265 48T279 53T286 61Q287 63 287 115V165H28V211L179 442Q332 674 334 675Q336 677 355 677H373L379 671V211H471V165H379V114Q379 73 379 66T385 54Q393 47 442 46H471V0H462ZM293 211V545L74 212L183 211H293Z”></path></g><g data-mml-node=“mn” transform=“translate(220,-345) scale(0.707)”><path data-c=“37” d=“M55 458Q56 460 72 567L88 674Q88 676 108 676H128V672Q128 662 143 655T195 646T364 644H485V605L417 512Q408 500 387 472T360 435T339 403T319 367T305 330T292 284T284 230T278 162T275 80Q275 66 275 52T274 28V19Q270 2 255 -10T221 -22Q210 -22 200 -19T179 0T168 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</body></html>
Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule a sua soma:
Determine se a série dada é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.