Encontre os números reais A e B tais que 3/n(n-1) = A/n + B/(n-1), para todo n diferente de 0 e de 1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar os números reais e que fazem a igualdade valer para todo que não seja 0 nem 1. Isso é uma questão de frações parciais, onde a gente quer decompor uma fração complexa em frações mais simples.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação para achar uma relação entre e . Para isso, vamos multiplicar ambos os lados da igualdade por para eliminar os denominadores:

Passo 3

Agora, vamos distribuir o na expressão:
Juntando os termos que têm :

Passo 4

Para que essa igualdade seja válida para todo , os coeficientes dos termos com e os termos constantes devem ser iguais nos dois lados da equação. Então, temos:

Passo 5

Vamos resolver o sistema de equações:
  1. De , temos que .
  2. Substituindo na primeira equação :

Resposta

Os números reais são e .

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