Utilize o teste da série alternada para decidir a convergência ou divergência da serie dada.
Passo 1
Vamos lá! Temos a série alternada
. O conteúdo que vamos usar aqui é o Teste da Série Alternada, que nos ajuda a saber se uma série que alterna sinais (positivos e negativos) converge ou diverge. Para aplicar esse teste, precisamos verificar duas coisas:
- Se os termos da série, sem o
, estão diminuindo. - Se o limite dos termos tende a zero quando
vai para o infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar os termos sem o
, que são
. Precisamos verificar se essa sequência está diminuindo conforme
aumenta.
Passo 3
Vamos comparar
com
:
Para ver se
, podemos multiplicar cruzado:
Simplificando:
Subtraindo
de ambos os lados:
Como
começa em 1 e aumenta, isso confirma que
está realmente diminuindo.
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite de
quando
tende ao infinito:
Podemos dividir o numerador e o denominador por
:
O limite é
, que não é zero.
Resposta
Como o limite dos termos não é zero, pelo Teste da Série Alternada, a série
diverge.