Utilize o teste da série alternada para decidir a convergência ou divergência da serie dada.
sumn=1^infty(-1)^n 2 n4 n+1

Passo 1

Vamos lá! Temos a série alternada . O conteúdo que vamos usar aqui é o Teste da Série Alternada, que nos ajuda a saber se uma série que alterna sinais (positivos e negativos) converge ou diverge. Para aplicar esse teste, precisamos verificar duas coisas:
  1. Se os termos da série, sem o , estão diminuindo.
  2. Se o limite dos termos tende a zero quando vai para o infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar os termos sem o , que são . Precisamos verificar se essa sequência está diminuindo conforme aumenta.

Passo 3

Vamos comparar an = 2n4n+1 e an+1 = 2(n+1)4(n+1)+1 = 2n + 24n + 5 com (2n)(4n + 5) > (2n + 2)(4n + 1) :
8n^2 + 10n > 8n^2 + 6n + 2
Para ver se 10n > 6n + 2 Rightarrow 4n > 2 Rightarrow n > 12 , podemos multiplicar cruzado:
Simplificando:
Subtraindo de ambos os lados:
Como começa em 1 e aumenta, isso confirma que está realmente diminuindo.

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite de limn to infty 2n4n+1 quando limn to infty 24 + 1n = 24 + 0 = 24 = 12 tende ao infinito:
Podemos dividir o numerador e o denominador por :
O limite é , que não é zero.

Resposta

Como o limite dos termos não é zero, pelo Teste da Série Alternada, a série diverge.

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