Determine se a série é convergente ou divergente. Se ela for convergente, calcule a sua soma.
sumn=1^infty 2^n cdot 3^-n+1

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos que determinar se a série infinita
sumn=1^infty 2^n cdot 3^-n+1
é convergente ou divergente. Se for convergente, também precisamos calcular a soma dela. Para isso, vamos usar o conceito de séries geométricas.

Passo 2

Vamos simplificar o termo geral da série para facilitar a análise:
2^n cdot 3^-n+1 = 2^n cdot 3^1 cdot 3^-n = 3 cdot (23)^n
Então, a série original fica:
3 cdot sumn=1^infty (23)^n

Passo 3

Agora, vamos analisar a série geométrica:
sumn=1^infty (23)^n
Sabemos que uma série geométrica da forma
sumn=1^infty r^n
converge se o módulo da razão for menor que 1 ( ). No nosso caso, , que satisfaz . Portanto, a série converge.

Passo 4

Para encontrar a soma da série geométrica que converge, usamos a fórmula:
sumn=1^infty r^n = r1 - r
Aplicando essa fórmula com sumn=1^infty (23)^n = 231 - 23 = 2313 = 2 :
3 cdot 2 = 6
Agora, multiplicamos pelo fator que estava fora da série:

Resposta

A série é convergente e a sua soma é igual a 6.

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