Determine se a série é convergente ou divergente. Se ela for convergente, calcule a sua soma.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos que determinar se a série infinita
é convergente ou divergente. Se for convergente, também precisamos calcular a soma dela. Para isso, vamos usar o conceito de séries geométricas.
Passo 2
Vamos simplificar o termo geral da série para facilitar a análise:
Então, a série original fica:
Passo 3
Agora, vamos analisar a série geométrica:
Sabemos que uma série geométrica da forma
converge se o módulo da razão
for menor que 1 (
). No nosso caso,
, que satisfaz
. Portanto, a série converge.
Passo 4
Para encontrar a soma da série geométrica que converge, usamos a fórmula:
Aplicando essa fórmula com
:
Agora, multiplicamos pelo fator que estava fora da série:
Resposta
A série é convergente e a sua soma é igual a 6.
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