Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.
e)
e)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente determinar se a série
converge ou diverge. Se ela convergir, a gente também precisa calcular a soma. Para resolver isso, vamos usar conceitos de séries geométricas e verificar a convergência delas. Vamos precisar entender como somar séries geométricas e aplicar isso aos termos da nossa série.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a série para facilitar a análise. A série é:
Podemos separar essa série em duas séries distintas:
Passo 3
Vamos analisar a primeira série:
. Essa é uma série geométrica onde cada termo é
com
.
Sabemos que uma série geométrica
converge se
e a soma é dada por
.
No nosso caso,
, que é menor que 1, então a série converge. Mas atenção: o índice começa em
, então precisamos ajustar a fórmula.
A soma da série
é igual a
.
Portanto:
Passo 4
Agora, vamos analisar a segunda série:
. Essa também é uma série geométrica, com cada termo sendo
e
.
Como
, essa série também converge. A soma de uma série geométrica
é igual a
.
Então:
Passo 5
Agora que temos as somas das duas séries separadas, podemos voltar à série original:
Substituindo pelas somas que calculamos:
Resposta
A série é convergente e a sua soma é
.
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Determine se a série é convergente ou divergente. Se ela for convergente, calcule sua soma.
.
Faça o que se pede:
A série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente?
A série