Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.
e) sumn=1^+infty[(0,8)^n-1-(0,3)^n]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente determinar se a série converge ou diverge. Se ela convergir, a gente também precisa calcular a soma. Para resolver isso, vamos usar conceitos de séries geométricas e verificar a convergência delas. Vamos precisar entender como somar séries geométricas e aplicar isso aos termos da nossa série.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a série para facilitar a análise. A série é:
sumn=1^+infty[(0,8)^n-1 - (0,3)^n]
Podemos separar essa série em duas séries distintas:
sumn=1^+infty (0,8)^n-1 e sumn=1^+infty (0,3)^n

Passo 3

Vamos analisar a primeira série: sumn=1^+infty (0,8)^n-1 = 11 - 0,8 = 10,2 = 5 . Essa é uma série geométrica onde cada termo é com .
Sabemos que uma série geométrica converge se e a soma é dada por .
No nosso caso, , que é menor que 1, então a série converge. Mas atenção: o índice começa em , então precisamos ajustar a fórmula.
A soma da série é igual a .
Portanto:

Passo 4

Agora, vamos analisar a segunda série: sumn=1^+infty (0,3)^n = 0,31 - 0,3 = 0,30,7 = 37 . Essa também é uma série geométrica, com cada termo sendo e .
Como , essa série também converge. A soma de uma série geométrica é igual a .
Então:

Passo 5

Agora que temos as somas das duas séries separadas, podemos voltar à série original:
sumn=1^+infty[(0,8)^n-1 - (0,3)^n] = sumn=1^+infty (0,8)^n-1 - sumn=1^+infty (0,3)^n
Substituindo pelas somas que calculamos:
5 - 37 = 357 - 37 = 327

Resposta

A série é convergente e a sua soma é .

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