Faça o que se pede:
A série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos pede para determinar se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Para isso, vamos usar conceitos de convergência absoluta e convergência condicional de séries. Precisaremos verificar se a série dos valores absolutos converge e, se não, verificar a convergência da série original usando o Teste da Série Alternada.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar a convergência absoluta. Isso significa que devemos considerar a série dos valores absolutos:
Agora, precisamos determinar se essa nova série converge ou diverge.

Passo 3

Para analisar a série , podemos comparar com uma integral, já que a função é positiva, contínua e decrescente para .
Vamos calcular a integral imprópria:
Essa integral é conhecida por divergir, pois cresce sem limite à medida que tende ao infinito.

Passo 4

Como a integral diverge, concluímos que a série também diverge. Portanto, a série original não é absolutamente convergente.

Passo 5

Agora, vamos verificar a convergência condicional da série original usando o Teste da Série Alternada.
Esse teste diz que, para uma série da forma , se:
  1. é positiva,
  2. é decrescente,
  3. ,
então a série converge.

Passo 6

Vamos verificar cada condição:
  1. é positiva para .
  2. é decrescente porque aumenta conforme aumenta, então diminui.
  3. .
Como todas as condições são satisfeitas, a série original converge.

Resposta

A série é condicionalmente convergente.

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.
Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.
e)
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