Faça o que se pede:
A série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos pede para determinar se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Para isso, vamos usar conceitos de convergência absoluta e convergência condicional de séries. Precisaremos verificar se a série dos valores absolutos converge e, se não, verificar a convergência da série original usando o Teste da Série Alternada.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar a convergência absoluta. Isso significa que devemos considerar a série dos valores absolutos:
Agora, precisamos determinar se essa nova série converge ou diverge.
Passo 3
Para analisar a série , podemos comparar com uma integral, já que a função é positiva, contínua e decrescente para .
Vamos calcular a integral imprópria:
Essa integral é conhecida por divergir, pois cresce sem limite à medida que tende ao infinito.
Passo 4
Como a integral diverge, concluímos que a série também diverge. Portanto, a série original não é absolutamente convergente.
Passo 5
Agora, vamos verificar a convergência condicional da série original usando o Teste da Série Alternada.
Esse teste diz que, para uma série da forma , se:
é positiva,
é decrescente,
,
então a série converge.
Passo 6
Vamos verificar cada condição:
é positiva para .
é decrescente porque aumenta conforme aumenta, então diminui.
.
Como todas as condições são satisfeitas, a série original converge.