Determine se a série é convergente ou divergente. Se ela for convergente, calcule sua soma.
sumn=1^infty 3^n+1 4^-n.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que determinar se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, também precisamos calcular a sua soma. Para resolver isso, vamos precisar trabalhar com séries geométricas e entender o que significa uma série convergir.

Passo 2

Vamos simplificar a expressão da série para facilitar o entendimento. A série dada é:
sumn=1^infty 3^n+14^n
Podemos reescrever sumn=1^infty 3 cdot (34)^n como . Assim, a série fica:

Passo 3

Agora, observamos que temos uma série geométrica da forma , onde e . Uma série geométrica converge se o valor absoluto da razão for menor que 1, ou seja, .

Passo 4

No nosso caso, a razão e . Portanto, a série é convergente.

Passo 5

Como a série é uma série geométrica convergente, podemos calcular sua soma usando a fórmula:
S = a cdot r1 - r
Substituindo os valores de S = 3 cdot 341 - 34 = 9414 = 9 e :

Resposta

A série é convergente e a sua soma é 9.

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