Determine se a série é convergente ou divergente. Se ela for convergente, calcule sua soma.
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que determinar se a série
é convergente ou divergente. Se for convergente, também precisamos calcular a sua soma. Para resolver isso, vamos precisar trabalhar com séries geométricas e entender o que significa uma série convergir.
Passo 2
Vamos simplificar a expressão da série para facilitar o entendimento. A série dada é:
Podemos reescrever
como
. Assim, a série fica:
Passo 3
Agora, observamos que temos uma série geométrica da forma
, onde
e
. Uma série geométrica converge se o valor absoluto da razão
for menor que 1, ou seja,
.
Passo 4
No nosso caso, a razão
e
. Portanto, a série é convergente.
Passo 5
Como a série é uma série geométrica convergente, podemos calcular sua soma usando a fórmula:
Substituindo os valores de
e
:
Resposta
A série é convergente e a sua soma é 9.